các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn

Tài liệu chuyên đề Nguyên lý Cực hạn trong Toán học (Dành cho học sinh THCS và luyện thi vào lớp 10)

Tài liệu này là một trích đoạn quý giá từ cuốn sách “Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp” của tác giả Nguyễn Quốc Bảo, được biên soạn nhằm mục đích hỗ trợ học sinh trong quá trình ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải toán, đặc biệt là các bài toán thi học sinh giỏi Toán cấp THCS và chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Chuyên đề tập trung vào việc ứng dụng hiệu quả Nguyên lý Cực hạn – một công cụ tư duy mạnh mẽ và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Nguyên lý Cực hạn

Nguyên lý Cực hạn là một nguyên tắc cơ bản trong toán học, khẳng định sự tồn tại của các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong một tập hợp nhất định. Cụ thể:

• Nguyên lý 1: Trong một tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực, luôn tồn tại một số bé nhất và một số lớn nhất.
• Nguyên lý 2: Trong một tập hợp khác rỗng các số tự nhiên, luôn tồn tại một số bé nhất.

Điểm mấu chốt của nguyên lý này là khả năng xác định các phần tử có giá trị cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một đại lượng nào đó. Điều này mở ra nhiều hướng tiếp cận sáng tạo trong giải toán. Ví dụ:

• Xác định đoạn thẳng dài nhất (hoặc ngắn nhất) trong một tập hợp hữu hạn các đoạn thẳng.
• Tìm góc lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một tập hợp hữu hạn các góc.
• Xác định đa giác có diện tích hoặc chu vi lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một tập hợp hữu hạn các đa giác.
• Tìm khoảng cách lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) giữa hai điểm hoặc từ một điểm đến một đường thẳng.
• Xác định các điểm đầu mút của một đoạn thẳng, hoặc các điểm nằm ngoài cùng bên trái/phải của một đoạn thẳng (khi đoạn thẳng nằm ngang).

Nguyên lý Cực hạn thường được sử dụng một cách hiệu quả khi kết hợp với các phương pháp giải toán khác, đặc biệt là phương pháp phản chứng. Sự kết hợp này đặc biệt hữu ích khi tập hợp các giá trị cần khảo sát là hữu hạn (Nguyên lý 1) hoặc có thể được giới hạn để tồn tại một phần tử cực trị (Nguyên lý 2).

2. Các bước áp dụng Nguyên lý Cực hạn khi giải toán

Để vận dụng Nguyên lý Cực hạn một cách thành công, học sinh cần tuân theo các bước sau:

1. Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong tập hợp các giá trị cần khảo sát.
2. Bước 2: Xét bài toán trong trường hợp riêng khi đại lượng đó đạt giá trị cực trị (nhỏ nhất hoặc lớn nhất).
3. Bước 3: Chỉ ra một mâu thuẫn, hoặc chứng minh rằng tồn tại một giá trị khác nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) giá trị đang xét.

Việc chỉ ra mâu thuẫn hoặc giá trị khác sẽ dẫn đến kết luận cuối cùng dựa trên nguyên lý phản chứng.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

C. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu này cung cấp một nền tảng kiến thức vững chắc về Nguyên lý Cực hạn, trình bày rõ ràng, dễ hiểu và có tính hệ thống. Việc phân chia thành các phần rõ ràng (Kiến thức cần nhớ, Bài tập vận dụng, Hướng dẫn giải – Đáp số) giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và tự học. Các ví dụ minh họa đa dạng giúp học sinh nắm bắt được bản chất và ứng dụng của nguyên lý này trong nhiều dạng bài toán khác nhau.

Động viên và khích lệ:

Nguyên lý Cực hạn là một công cụ vô cùng hữu ích trong giải toán, nhưng để làm chủ được nó đòi hỏi sự luyện tập và tư duy sáng tạo. Đừng nản lòng trước những bài toán khó, hãy kiên trì áp dụng các bước đã học và tìm tòi những phương pháp tiếp cận mới. Chúc các em học sinh đạt được kết quả tốt nhất trong quá trình học tập và chinh phục các kỳ thi!