Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của Tam Thức Bậc Hai - Lý Thuyết Toán 10 Chương 3

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số và a ≠ 0. Việc xác định dấu của tam thức bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong toán học, đặc biệt là khi nghiên cứu về hàm số bậc hai và đồ thị của chúng.

1. Định nghĩa Dấu của Tam Thức Bậc Hai

Dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c là giá trị của f(x): dương, âm, hoặc bằng không, tùy thuộc vào giá trị của x.

2. Điều kiện để Tam Thức Bậc Hai Có Nghiệm

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, trước tiên chúng ta cần xem xét điều kiện để tam thức bậc hai có nghiệm. Tam thức bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức Δ = b² - 4ac ≥ 0.

3. Các Trường Hợp về Dấu của Tam Thức Bậc Hai

Dựa vào dấu của hệ số a và biệt thức Δ, chúng ta có thể xác định dấu của tam thức bậc hai trong các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: a > 0 và Δ > 0: Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Khi đó:
  • f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
  • f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂
  • f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂
• Trường hợp 2: a > 0 và Δ = 0: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀. Khi đó:
  • f(x) > 0 khi x ≠ x₀
  • f(x) = 0 khi x = x₀
• Trường hợp 3: a > 0 và Δ < 0: Tam thức bậc hai vô nghiệm. Khi đó:
  • f(x) > 0 với mọi x
• Trường hợp 4: a < 0 và Δ > 0: Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Khi đó:
  • f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
  • f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂
  • f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂
• Trường hợp 5: a < 0 và Δ = 0: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀. Khi đó:
  • f(x) < 0 khi x ≠ x₀
  • f(x) = 0 khi x = x₀
• Trường hợp 6: a < 0 và Δ < 0: Tam thức bậc hai vô nghiệm. Khi đó:
  • f(x) < 0 với mọi x

4. Ví dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2 > 0 và Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 9 > 0. Vậy tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Tính nghiệm ta được x₁ = 1/2 và x₂ = 2. Do đó:

• f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2
• f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2
• f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 2

Ví dụ 2: Xét tam thức bậc hai f(x) = -x² + 4x - 4. Ta có a = -1 < 0 và Δ = 4² - 4(-1)(-4) = 0. Vậy tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀ = 2. Do đó:

• f(x) < 0 khi x ≠ 2
• f(x) = 0 khi x = 2

5. Ứng dụng của việc xác định dấu của tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học, bao gồm:

• Giải bất phương trình bậc hai
• Xác định khoảng giá trị của x để hàm số bậc hai dương hoặc âm
• Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số bậc hai

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!