đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn toán thpt năm học 2023 – 2024

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024. Kỳ thi đã chính thức diễn ra vào ngày 05/01/2024 và 06/01/2024. Đi kèm với đề thi là đáp án và lời giải chi tiết, được biên soạn công phu, nhằm hỗ trợ tối đa quá trình ôn luyện và nâng cao kiến thức của các em.

Đề thi năm nay tiếp tục khẳng định xu hướng ra đề chú trọng vào việc kiểm tra sự hiểu biết sâu sắc về kiến thức nền tảng, khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học, cũng như kỹ năng tư duy logic và sáng tạo của học sinh. Các bài toán không chỉ đòi hỏi sự nắm vững lý thuyết mà còn yêu cầu thí sinh phải có khả năng phân tích, tổng hợp và đưa ra các giải pháp tối ưu.

Dưới đây là trích dẫn một số bài toán tiêu biểu từ đề thi:

1. Bài toán 1: Hình học phẳng

Cho tam giác ABC nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi A₀ là tâm của đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại A, B₀ là tâm của đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại B, C₀ là tâm của đường tròn đi qua B và tiếp xúc với CA tại C.

• a) Chứng minh rằng diện tích tam giác A₀B₀C₀ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác ABC.
• b) Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các đường thẳng A₀B₀, B₀C₀, C₀A₀. (XYZ) cắt lại A₀B₀, B₀C₀, C₀A₀ tại X₀, Y₀, Z₀. Chứng minh rằng AX₀, BY₀, CZ₀ đồng quy.
2. Bài toán 2: Tổ hợp

Người ta xếp k viên bi vào các ô của một bảng 2024 × 2024 ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh).

• a) Cho k = 2024. Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bất kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên.
• b) Tìm giá trị k lớn nhất sao cho với mọi cách xếp k viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau.
3. Bài toán 3: Số học và Tổ hợp

Trong không gian, cho đa diện lồi D sao cho tại mỗi đỉnh của D có đúng một số chẵn các cạnh chứa đỉnh đó. Chọn ra một mặt F của D. Giả sử ta gán cho mỗi cạnh của D một số nguyên dương sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi mặt (khác mặt F) của D, tổng các số được gán với các cạnh của mặt đó là một số nguyên dương chia hết cho 2024. Chứng minh rằng tổng các số được gán với các cạnh của mặt F cũng là một số nguyên dương chia hết cho 2024.

Đánh giá chung:

Đề thi năm nay có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có nền tảng kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Các bài toán được thiết kế một cách tinh tế, có tính liên kết và mở rộng cao, giúp đánh giá toàn diện năng lực của học sinh. Đặc biệt, bài toán về đa diện lồi kết hợp số học và tổ hợp là một thử thách lớn, đòi hỏi sự sáng tạo và tư duy logic sắc bén.

Lời khích lệ:

Các em học sinh thân mến! Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia là một sân chơi trí tuệ, nơi các em có thể thể hiện tài năng và đam mê của mình với môn Toán. Dù kết quả có như thế nào, hãy xem đây là một cơ hội quý báu để học hỏi, rèn luyện và trưởng thành. Hãy tiếp tục nỗ lực, không ngừng khám phá và chinh phục những đỉnh cao mới của tri thức. giaitoan.edu.vn tin rằng, với sự chăm chỉ và quyết tâm, các em sẽ đạt được những thành công xứng đáng!