đề thi hsg toán 10 lần 15 năm 2024 hội các trường thpt chuyên dh&đb bắc bộ

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 lần thứ 15, năm 2024, do Hội các trường THPT chuyên vùng Đồng bằng sông Hồng và Bắc Bộ tổ chức. Kỳ thi đã diễn ra vào ngày 16 tháng 7 năm 2024.

Đây là một đề thi có chất lượng cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi bao gồm ba bài toán với độ khó tăng dần, bao trùm các lĩnh vực hình học, đại số và tổ hợp.

Trích dẫn nội dung đề thi HSG Toán 10 lần 15 năm 2024:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác, đồng quy tại trực tâm H (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB). Gọi O₁ là điểm đối xứng với O qua BC. Đường thẳng AO₁ cắt cạnh BC tại L, các đường thẳng DE và HC cắt nhau tại M, các đường thẳng DF và HB cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:
   • a) MN vuông góc với AO₁.
   • b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tiếp xúc với đường tròn đường kính AL.
2. Bài toán 2 (Đại số): Cho dãy số (a_n) xác định bởi công thức truy hồi. Chứng minh rằng:
   • a) a_kn chia hết cho a_n với mọi số nguyên dương k, n.
   • b) Với mọi số nguyên tố p, tồn tại các số nguyên dương N và T sao cho a_n ≡ a_n+T (mod p) với mọi n ≥ N.
   • c) Tồn tại vô hạn số nguyên tố p thỏa mãn: Trong dãy (a_n) có vô hạn số hạng chia hết cho p.
3. Bài toán 3 (Tổ hợp): An và Bình cùng chơi một trò chơi trên bảng ô vuông kích thước (2n + 1) x (2n + 1), với An đi trước. Ban đầu, tất cả các ô đều có màu trắng. Ở mỗi lượt chơi, An tô một ô màu trắng thành màu xanh, còn Bình tô một ô màu trắng thành màu đỏ. Trò chơi kết thúc khi tất cả các ô đều được tô màu. An thắng nếu với hai ô màu xanh bất kì, tồn tại ít nhất một chuỗi các ô xanh lân cận kết nối chúng (hai ô gọi là lân cận nếu chúng có chung ít nhất một đỉnh). Nếu không, Bình thắng.
   • a) Khi n = 1, xác định người chơi có chiến lược thắng.
   • b) Khi n ≥ 2, chứng minh Bình có chiến lược thắng.

Đánh giá và nhận xét:

• Bài toán 1 kiểm tra kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính đối xứng và các tính chất liên quan đến trực tâm của tam giác.
• Bài toán 2 đòi hỏi học sinh có kiến thức về số học, tính chia hết, đồng dư và dãy số.
• Bài toán 3 là một bài toán tổ hợp thú vị, đòi hỏi học sinh phải có tư duy chiến lược và khả năng phân tích tình huống.

Lời khích lệ:

Đề thi này là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng của mình. Hãy tự tin đối mặt với các bài toán, không ngừng tìm tòi, học hỏi và áp dụng các kiến thức đã học vào giải quyết vấn đề. Chúc các em đạt được kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới và luôn yêu thích môn Toán!

giaitoan.edu.vn luôn đồng hành và hỗ trợ các em trên con đường chinh phục môn Toán.