đề thi hsg toán 12 cấp trường năm 2021 – 2022 trường chuyên nguyễn trãi – hải dương

Phân tích và Đánh giá Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 12 Cấp Trường Năm Học 2021 – 2022, Trường Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương

Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp trường của Trường Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương năm học 2021 – 2022 là một đề thi có chất lượng, thể hiện được sự phân hóa cao, phù hợp với mục tiêu đánh giá học sinh giỏi. Đề thi bao gồm ba bài toán, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt.

Nội dung chi tiết đề thi và nhận xét:

1. Bài toán 1: Hình học

   Bài toán: Cho tam giác nhọn ABC với AB < BC. Cho I là tâm nội tiếp của tam giác ABC và (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại K. Đường thẳng AK cắt (O) tại điểm thứ hai T. Cho M là trung điểm của BC và N là điểm chính giữa cung BC chứa A của (O). Đoạn thẳng NT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC ở P. Chứng minh rằng:

   • a) KI cắt (BIC) tại điểm thứ hai X thì N, T, X thẳng hàng.
   • b) PM // AK.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian điển hình, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác (tâm nội tiếp, trung điểm, điểm chính giữa cung). Việc giải bài toán này đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các kỹ năng vẽ hình, phân tích hình học và sử dụng các định lý liên quan. Độ khó của bài toán ở mức cao, đòi hỏi học sinh có khả năng suy luận và chứng minh tốt.

2. Bài toán 2: Đại số

   Bài toán: Cho dãy số x_n là nghiệm dương của phương trình 2^x_n = kx_n với số nguyên dương k cho trước. Khi đó chứng minh rằng 1 ≤ n ≤ 2022 thì 2ⁿ ≡ 1 (mod k).

   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực đại số, cụ thể là về phương trình hàm và số học. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức về hàm số mũ, phương trình hàm, đồng dư thức và các tính chất liên quan. Bài toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích, biến đổi và chứng minh một cách chặt chẽ. Độ khó của bài toán ở mức khá, đòi hỏi học sinh có tư duy logic và kỹ năng đại số tốt.

3. Bài toán 3: Tổ hợp

   Bài toán: Có bao nhiêu cách lát kín bảng 2 x 2022 bởi các viên domino 1 x 2 và 2 x 1?

   Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp quen thuộc, liên quan đến việc đếm số cách sắp xếp các đối tượng. Để giải bài toán này, học sinh có thể sử dụng phương pháp đếm trực tiếp hoặc phương pháp quy hoạch động. Bài toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích bài toán, xây dựng công thức đếm và tính toán một cách chính xác. Độ khó của bài toán ở mức trung bình, đòi hỏi học sinh có kiến thức về tổ hợp và kỹ năng tính toán tốt.

Lời khuyên và động viên:

Đề thi này là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán. Đừng nản lòng nếu gặp khó khăn, hãy cố gắng suy nghĩ, tìm tòi và học hỏi từ những người xung quanh. Hãy nhớ rằng, thành công không đến một cách dễ dàng, mà là kết quả của sự nỗ lực không ngừng. Chúc các em học sinh đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới!

Lưu ý: Việc có lời giải chi tiết cho đề thi này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải và cách tiếp cận các bài toán tương tự. Hãy tận dụng tối đa tài liệu này để ôn tập và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới.