đề thi olympic môn toán năm 2023 trường thpt chuyên khtn – hà nội

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi Olympic môn Toán năm 2023 của trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thành phố Hà Nội. Đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, là cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải toán, đồng thời làm quen với cấu trúc đề thi Olympic Toán học.

Bộ đề thi bao gồm ba bài toán, đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa kiến thức và kỹ năng toán học ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:

1. Bài 1: Dãy số và tính chất chia hết

   Cho dãy số (an) thỏa mãn a1 = 7 và an + 1 = an(3an − 22n + 1) với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2023 thì p − 1 chia hết cho 3.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc nghiên cứu tính chất của dãy số và ứng dụng các kiến thức về số học, đặc biệt là tính chất chia hết của số nguyên tố. Để giải bài toán này, các em cần nắm vững các định lý cơ bản về số nguyên tố và sử dụng các kỹ thuật chứng minh chia hết một cách linh hoạt.

2. Bài 2: Hình học phẳng và đường tròn

   Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) với phân giác trong AD (D nằm trên cạnh BC). M là trung điểm BC. AM cắt lại (O) tại N. J là trung điểm cung BC chứa A của (O). Trên (O) lấy các điểm S và T sao cho JS k AB và JT k AC. a) Chứng minh rằng đường thẳng ST đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADN. b) Lấy P thuộc (O) sao cho NP = AJ. Gọi giao điểm của P B và P C lần lượt với JS và JT là Q và R. Chứng minh rằng Q, R, D thẳng hàng.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phẳng khá phức tạp, đòi hỏi các em phải có kiến thức vững chắc về đường tròn, tam giác, và các tính chất liên quan đến đường phân giác, trung điểm, và đường tròn ngoại tiếp. Việc vẽ hình chính xác và sử dụng các định lý hình học một cách hợp lý là chìa khóa để giải quyết bài toán này.

3. Bài 3: Hình học phẳng và tiếp xúc đường tròn

   Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với BC < AD. Gọi ω là đường tròn tâm C đi qua B. Giả sử là một tiếp tuyến của ω sao cho vuông góc với BD đồng thời cắt tia đối tia AB tại E. F thuộc đường thẳng CD sao cho EF k AD. P là hình chiếu vuông góc của F trên M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM tiếp xúc với ω.

   Nhận xét: Bài toán này kết hợp nhiều yếu tố hình học khác nhau, bao gồm hình thang, đường tròn, tiếp tuyến, và hình chiếu vuông góc. Để giải bài toán này, các em cần sử dụng các kiến thức về quan hệ vuông góc, song song, và các tính chất của đường tròn để chứng minh sự tiếp xúc giữa hai đường tròn.

Lời khích lệ:

Bộ đề thi này là một thử thách lớn, nhưng cũng là một cơ hội tuyệt vời để các em học sinh thể hiện năng lực và niềm đam mê với môn Toán. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy cố gắng suy nghĩ một cách logic, sáng tạo, và áp dụng những kiến thức đã học vào giải quyết bài toán. Chúng tôi tin rằng, với sự nỗ lực và quyết tâm, các em sẽ đạt được những thành công đáng tự hào. giaitoan.edu.vn luôn đồng hành và hỗ trợ các em trên con đường chinh phục tri thức!