Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Trong chương trình Toán 8, kiến thức về tam giác đồng dạng đóng vai trò then chốt, và việc nắm vững các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành để giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.

1. Định nghĩa Tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Ký hiệu: ΔABC ~ ΔA'B'C'.

2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Có ba trường hợp đồng dạng của tam giác vuông:

Trường hợp 1: Hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau

Nếu ΔABC vuông tại A và ΔA'B'C' vuông tại A' mà ∠B = ∠B' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.

Trường hợp 2: Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ

Nếu ΔABC vuông tại A và ΔA'B'C' vuông tại A' mà AB/A'B' = AC/A'C' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.

Trường hợp 3: Hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ

Nếu ΔABC vuông tại A và ΔA'B'C' vuông tại A' mà BC/B'C' = AB/A'B' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.

3. Ứng dụng của các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tính độ dài đoạn thẳng, góc và diện tích.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho ΔABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Cho ΔA'B'C' vuông tại A' có ∠B' = ∠B. Tính độ dài các cạnh A'B' và A'C' biết B'C' = 5cm.

Giải:

Vì ΔABC ~ ΔA'B'C' (trường hợp 1) nên ta có tỉ lệ: AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'.
BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm.
A'B' = AB * (B'C'/BC) = 3 * (5/5) = 3cm.
A'C' = AC * (B'C'/BC) = 4 * (5/5) = 4cm.

Ví dụ 2: Cho ΔABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Cho ΔA'B'C' vuông tại A' có AB/A'B' = AC/A'C' = 1.5. Tính độ dài các cạnh A'B' và A'C'.

Giải:

A'B' = AB / 1.5 = 6 / 1.5 = 4cm.
A'C' = AC / 1.5 = 8 / 1.5 = 5.33cm (làm tròn).

5. Bài tập thực hành

Bài 1: Cho ΔABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm. Cho ΔA'B'C' vuông tại A' đồng dạng với ΔABC. Tính độ dài các cạnh A'B' và A'C' biết B'C' = 13cm.

Bài 2: Cho ΔABC vuông tại A, AB = 8cm, AC = 6cm. Cho ΔA'B'C' vuông tại A' có BC/B'C' = 2. Tính độ dài các cạnh A'B' và A'C'.

6. Kết luận

Việc hiểu rõ các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này và áp dụng vào thực tế.