đề chọn đội tuyển thi hsg toán quốc gia năm 2020 – 2021 sở gd&đt thái nguyên

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán Quốc gia năm học 2020 – 2021 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên là một đề thi có độ khó cao, được thiết kế để đánh giá năng lực toàn diện của học sinh trong việc giải quyết các bài toán đại số và số học. Đề thi gồm 01 trang, với 05 bài toán tự luận, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng biến đổi linh hoạt và tư duy sáng tạo. Thời gian làm bài là 180 phút, tạo áp lực nhất định để thí sinh cân đối thời gian và hoàn thành bài thi một cách tốt nhất.

Dưới đây là nội dung trích dẫn của ba bài toán tiêu biểu trong đề thi:

1. Bài toán 1: Tìm hàm số

   Tìm tất cả các hàm số f: ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện: f(x + f(y)) = 4f(x) + f(y) – 3x với mọi x, y thuộc ℝ.

   Nhận xét: Đây là một bài toán về hàm số, đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ thuật tìm hàm số thông qua việc thay các giá trị đặc biệt, kết hợp với các phép biến đổi đại số để tìm ra dạng hàm số thỏa mãn. Bài toán này kiểm tra khả năng suy luận logic và giải quyết phương trình hàm của học sinh.

2. Bài toán 2: Đa thức và số nguyên tố

   Cho đa thức P(x) = x² + ax + b với a, b là các số nguyên. Biết rằng với mọi số nguyên tố p, luôn tồn tại số nguyên k để P(k) và P(k + 1) đều chia hết cho p. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên m để P(m) = P(m + 1) = 0.

   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về đa thức, số nguyên tố và tính chia hết. Để giải quyết bài toán, thí sinh cần vận dụng các tính chất của đa thức, số nguyên tố và sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng hoặc phương pháp xét trường hợp. Đây là một bài toán đòi hỏi sự nhạy bén trong việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán.

3. Bài toán 3: Dãy số và số chính phương

   Với mỗi số nguyên dương x, kí hiệu s(x) là số chính phương lớn nhất không vượt quá x. Cho dãy số (a_n) được xác định bởi a₁ = p (p là số nguyên dương) và a_n+1 = 2a_n – s(a_n) với mọi n ≥ 1. Tìm tất cả các số nguyên dương p để dãy số (a_n) bị chặn.

   Nhận xét: Bài toán này liên quan đến dãy số, số chính phương và tính chất bị chặn của dãy số. Thí sinh cần phân tích cấu trúc của dãy số, tìm hiểu mối quan hệ giữa các phần tử của dãy và sử dụng các tiêu chuẩn để xác định tính bị chặn của dãy số. Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích và tổng hợp thông tin của học sinh.

Đánh giá chung: Đề thi có cấu trúc rõ ràng, các bài toán được trình bày mạch lạc và có tính phân loại cao. Các bài toán đều có tính thử thách, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi này là một cơ hội tốt để học sinh rèn luyện và nâng cao năng lực toán học của mình.

Lời khích lệ: Các em học sinh thân mến, đề thi này có thể gây khó khăn, nhưng đừng nản lòng. Hãy xem đây là một thử thách để các em phát triển bản thân và khẳng định năng lực của mình. Hãy dành thời gian ôn tập kiến thức, luyện tập kỹ năng và tìm tòi các phương pháp giải toán mới. Chúc các em thành công trên con đường chinh phục đỉnh cao toán học!