đề chọn hsg toán 11 cấp trường năm 2019 – 2020 trường thpt chuyên vĩnh phúc

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề chọn học sinh giỏi Toán 11 cấp trường năm học 2019 – 2020 của trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc. Đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, là tài liệu tham khảo quý giá cho quá trình ôn luyện và rèn luyện kỹ năng giải toán của học sinh.

Đề thi có cấu trúc gồm 05 bài toán tự luận, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học để giải quyết vấn đề. Thời gian làm bài thi là 180 phút, tạo điều kiện để học sinh có thể suy nghĩ thấu đáo và trình bày lời giải một cách chi tiết, rõ ràng.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Số học

Cho hai số nguyên a và b. Chứng minh rằng nếu a⁵ ≡ b⁵ (mod 97) thì a ≡ b (mod 97).

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về đồng dư thức và các tính chất của chúng. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững định lý Fermat nhỏ và áp dụng một cách khéo léo.

2. Bài 2: Hình học

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. L, M, N lần lượt là các giao điểm thứ hai của AI, BI, CI với (O). Một đường tròn (w) thay đổi luôn đi qua I, L và cắt cạnh BC tại E, F (E nằm giữa B và F). Các đường thẳng LE, LF cắt (O) tại điểm P, Q.

1. Chứng minh rằng tứ giác EFQP nội tiếp và đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn (w) thay đổi.
2. Đường thẳng PQ cắt AB, AC lần lượt tại H, K. Chứng minh rằng NH và MK cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn (w).

Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát tốt, sử dụng các định lý về đường tròn, tam giác và các tính chất liên quan đến tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp. Việc vẽ hình chính xác và tìm ra các mối liên hệ giữa các điểm và đường thẳng là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán.

3. Bài 3: Tổ hợp

Cho m ≤ n là hai số nguyên dương và một bảng có kích thước m x n gồm mn ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông có không quá một con kiến. Biết rằng với mỗi số nguyên dương k thuộc tập hợp {1, 2, 3, …, 78}, tồn tại một hàng hoặc một cột trong bảng có đúng k con kiến.

1. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của m + n.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của số con kiến trên bảng đã cho.

Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán tổ hợp, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích, suy luận để tìm ra các ràng buộc và điều kiện cần thiết. Việc sử dụng các kỹ thuật đếm và đánh giá là rất quan trọng để giải quyết bài toán.

Lời khuyên:

Đề thi này là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em học sinh nâng cao trình độ và làm quen với các dạng bài toán khó. Hãy dành thời gian nghiên cứu kỹ đề thi, thử sức mình và tìm tòi các lời giải khác nhau. Đừng nản lòng khi gặp khó khăn, hãy kiên trì và cố gắng hết mình. Chúc các em thành công!

giaitoan.edu.vn luôn đồng hành và hỗ trợ các em trên con đường chinh phục tri thức.