đề hsg toán cấp trường năm 2023 – 2024 trường chuyên nguyễn trãi – hải dương

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp trường năm học 2023 – 2024 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 04 tháng 09 năm 2023, đề thi đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, được biên soạn công phu và kỹ lưỡng.

Đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic sắc bén. Đề thi bao gồm ba bài toán:

1. Bài 1 (Hình học): Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. H là hình chiếu của A trên BC. N là trung điểm của AH. Đường thẳng qua D, N cắt CA, AB lần lượt tại J, S; BJ cắt CS tại P. Các đường thẳng DA, DP lần lượt cắt (I) tại G, L. Gọi EF cắt BC tại X.
   • a) Chứng minh rằng A, P, X thẳng hàng.
   • b) Gọi K, T theo thứ tự là giao điểm thứ hai của DI, DN và (I). Chứng minh: K, T, X thẳng hàng.
   • c) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, G, L cùng nằm trên một đường tròn.
   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường tròn nội tiếp, tính chất đường thẳng, điểm điều hòa và các định lý hình học cổ điển. Yêu cầu học sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố hình học và sử dụng các kỹ thuật chứng minh phù hợp.
2. Bài 2 (Số học): Cho số nguyên dương n và p là số nguyên tố lẻ. Giả sử n = qp + r với 0 ≤ r ≤ p − 1 và q nguyên dương. Đặt Sn. a) Khi p = 3, chỉ ra một giá trị n nguyên dương lớn hơn 5 sao cho Sn chia hết cho p. b) Chứng minh rằng nếu p là ước của Sn thì q là số lẻ. Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về số nguyên tố, phép chia có dư, và các tính chất chia hết. Phần a yêu cầu học sinh phải thử nghiệm và tìm ra một giá trị n thỏa mãn, trong khi phần b đòi hỏi học sinh phải chứng minh một mệnh đề tổng quát bằng cách sử dụng các công cụ của số học.
3. Bài 3 (Tổ hợp): Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho có thể phân chia tập {1; 2; …; 3n} thành n tập con 3 phần tử rời nhau {a; b; c} sao cho b – a và c − b là các số khác nhau trong tập {n − 1; n; n + 1}. Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán tổ hợp, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích cấu trúc của tập hợp, tìm kiếm các điều kiện cần và đủ để một cấu hình thỏa mãn, và sử dụng các kỹ thuật đếm.

Lời khuyên:

Các em học sinh thân mến, đây là một cơ hội tuyệt vời để rèn luyện kỹ năng giải toán và nâng cao kiến thức. Hãy dành thời gian nghiên cứu kỹ đề thi, thử sức mình với từng bài toán và tham khảo các lời giải chi tiết. Đừng nản lòng khi gặp khó khăn, hãy kiên trì và tìm tòi các phương pháp giải khác nhau. Chúc các em đạt được kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới và gặt hái được nhiều thành công trên con đường chinh phục tri thức!

giaitoan.edu.vn luôn đồng hành và hỗ trợ các em trên hành trình học tập.