đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn toán năm học 2020 – 2021

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021. Đây là một nguồn tài liệu quý báu để rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán, đặc biệt là đối với các em học sinh có đam mê và mong muốn đạt thành tích cao trong lĩnh vực Toán học.

Đề thi bao gồm hai bài thi:

1. Bài thi thứ nhất: Gồm 04 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút.
2. Bài thi thứ hai: Gồm 03 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút.

Kỳ thi được tổ chức trong hai ngày liên tiếp: Ngày 1 (25/12/2020) và Ngày 2 (26/12/2020).

Để quý thầy cô và các em học sinh có cái nhìn tổng quan về độ khó và cấu trúc đề thi, chúng tôi xin trích dẫn một số bài toán tiêu biểu:

Bài toán 1: Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).

• a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?
• b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ 2 hộp bất kì không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.
• c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu học sinh có thể sơn bi thỏa mãn các điều kiện ở câu b.

Bài toán 2: Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF với tâm I và K, J lần lượt là trung điểm BC, EF. Cho HJ cắt lại (I) tại G, GK cắt lại (I) tại L.

• a) Chứng minh rằng AD vuông góc với EF.
• b) Cho AD cắt EF tại M, IM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N, DN cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng PE, QF, AK đồng quy.

Đánh giá và nhận xét:

Bộ đề thi này có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các lĩnh vực Đại số, Hình học, Tổ hợp và Số học. Các bài toán được xây dựng một cách sáng tạo, có tính ứng dụng cao và đòi hỏi người giải phải có tư duy logic, khả năng phân tích và tổng hợp thông tin tốt. Đặc biệt, các bài toán hình học yêu cầu học sinh phải nắm vững các định lý, tính chất cơ bản và có khả năng vẽ hình, suy luận một cách chính xác.

Lời động viên:

Các em học sinh thân mến! Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em khẳng định năng lực và đam mê của mình. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy cố gắng học tập, rèn luyện một cách nghiêm túc và kiên trì. Hãy xem mỗi bài toán là một người bạn đồng hành, cùng các em khám phá những điều thú vị và bổ ích trong thế giới Toán học. Chúng tôi tin rằng, với sự nỗ lực không ngừng, các em sẽ đạt được những thành công xứng đáng!

giaitoan.edu.vn luôn đồng hành và hỗ trợ các em trên con đường chinh phục tri thức.