đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn toán thpt năm học 2024 – 2025

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025. Kỳ thi sẽ chính thức diễn ra vào ngày 25/12/2024 và 26/12/2024. Đi kèm với đề thi, chúng tôi cung cấp đáp án và lời giải chi tiết, giúp các em có thể tự học, ôn luyện và đánh giá năng lực bản thân một cách hiệu quả.

Bộ đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, khả năng tư duy logic và sáng tạo. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm các chủ đề quen thuộc như đại số, hình học, số học, kết hợp với những yêu cầu mới lạ, thách thức. Việc làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề là vô cùng quan trọng để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi.

Dưới đây là trích dẫn một số bài toán tiêu biểu từ đề thi:

1. Bài toán 1: Cho một bảng ô vuông 3k × 3k (k là số nguyên dương), các ô của bảng được đánh tọa độ theo cột và hàng: ô (i; j) nằm trên cột thứ i từ trái qua phải và trên hàng thứ j từ dưới lên trên. Người ta muốn đặt 4k viên bi vào các ô của bảng, mỗi ô có không quá một viên, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
   • Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bi;
   • Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.
   a) Xét k = 1. Có bao nhiêu cách đặt 4 viên bi vào bảng thỏa mãn các điều kiện trên? (Hai cách đặt bi được coi là khác nhau nếu có một ô (i; j) có bi trong một cách đặt nhưng không có bi trong cách còn lại). b) Xét k > 1 tổng quát. Xác định số tự nhiên N lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu N ô phân biệt trên bảng, luôn tồn tại một cách đặt 4k viên bi thỏa mãn các điều kiện trên mà không có viên bi nào đặt ở một trong N ô đã được đánh dấu.
2. Bài toán 2: Xét đa thức P(x) = x⁴ − x³ + x. a) Chứng minh rằng với mọi số dương a, đa thức P(x) − a có duy nhất một nghiệm dương. b) Xét dãy số (a_n) được xác định bởi a₁ = 1/3 và với mọi n > 1, a_n+1 là nghiệm dương của đa thức P(x) − a_n. Chứng minh rằng dãy (a_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
3. Bài toán 3: Với mỗi số nguyên n > 0, đặt u_n = (2 + √5)ⁿ + (2 − √5)ⁿ. a) Chứng minh rằng u_n là số nguyên dương với mọi n > 0. Khi n thay đổi, số dư của u_n khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu? b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) với a, b nhỏ hơn 500 sao cho với mọi n lẻ ta có u_n ≡ a_n − b_n (mod 1111).

Lời khuyên dành cho các em học sinh:

• Nắm vững kiến thức cơ bản và các định lý trọng tâm của chương trình THPT.
• Luyện tập thường xuyên với các bài toán có mức độ khó tăng dần.
• Rèn luyện kỹ năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề.
• Tìm hiểu các phương pháp giải toán hiệu quả và áp dụng linh hoạt.
• Không ngừng học hỏi, trao đổi kiến thức với thầy cô và bạn bè.

giaitoan.edu.vn tin rằng, với sự nỗ lực và quyết tâm, các em sẽ đạt được thành công trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm nay. Chúc các em học tập tốt và gặt hái nhiều thành quả!