đề thi học sinh giỏi toán 9 năm học 2021 – 2022 sở gd&đt hà nội

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 bộ đề thi chọn học sinh giỏi Toán cấp thành phố Hà Nội năm học 2021 – 2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức vào ngày 24 tháng 03 năm 2022.

Đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Đề thi bao gồm ba bài toán với độ khó tăng dần, bao quát các chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đồng thời có tính chất mở rộng, thách thức học sinh.

Cụ thể, đề thi bao gồm:

1. Bài hình học: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Gọi K, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với hai đường thẳng AH, AO.
• Chứng minh AQE = 90°.
• Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IE² = giaitoan.edu.vn.
• Gọi R, J lần lượt là trung điểm của BE, CF. Chứng minh JR vuông góc với QD.

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường cao, trực tâm và các tính chất liên quan. Để giải quyết bài toán, học sinh cần nắm vững các định lý hình học cơ bản, biết cách sử dụng các tính chất đối xứng và đồng dạng, đồng thời có khả năng vẽ hình và phân tích bài toán một cách chính xác.

2. Bài đại số: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho số (a³ + b)(b³ + a) là lập phương của một số nguyên tố.

Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về số học, các phép toán cơ bản và các tính chất của số nguyên tố. Học sinh cần vận dụng các kỹ năng phân tích, biến đổi đại số và sử dụng phương pháp loại trừ để tìm ra đáp án chính xác.

3. Bài số học – tổ hợp: Trên bảng ta viết số tự nhiên 222…2 gồm 2022 chữ số 2. Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp nào đó có chữ số ngoài cùng bên trái bằng 2, rồi biến đổi các chữ số được chọn theo qui tắc: chữ số 2 đổi thành chữ số 0 còn chữ số 0 đổi thành chữ số 2.
• Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số hữu hạn bước.
• Giả sử sau khi thực hiện được n bước thì không thể thực hiện được thêm bước nào nữa. Chứng minh n là số lẻ.

Nhận xét: Đây là một bài toán khá thú vị và độc đáo, kết hợp kiến thức về số học và tổ hợp. Bài toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát, phân tích và đưa ra các lập luận logic để chứng minh các khẳng định.

Lời khích lệ: Đề thi này là một cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, mở rộng kiến thức và thử thách bản thân. Dù kết quả có như thế nào, hãy xem đây là một trải nghiệm quý báu để các em học hỏi và trưởng thành hơn. Hãy tự tin vào khả năng của mình, không ngừng cố gắng và nỗ lực, chắc chắn các em sẽ đạt được những thành công lớn trong tương lai!