hướng dẫn giải bài toán cực trị số phức – lương đức trọng

Tài liệu chuyên sâu về bài toán cực trị số phức

Tài liệu gồm 12 trang do tác giả Lương Đức Trọng biên soạn, tập trung trình bày một cách hệ thống và chi tiết hai phương pháp giải quyết bài toán cực trị số phức. Đây là một dạng toán số phức đòi hỏi tư duy vận dụng cao, thường xuất hiện trong chương trình Giải tích 12, chương 4 và có tầm quan trọng đặc biệt trong các đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

Tài liệu đi sâu vào phân tích và ứng dụng hai phương pháp chính:

• Phương pháp đại số: Tập trung vào việc sử dụng các tính chất đại số của số phức, các phép biến đổi tương đương để tìm ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
• Phương pháp hình học: Khai thác mối liên hệ giữa số phức và hình học phẳng, sử dụng các kiến thức về quỹ tích, tính chất đường thẳng, đường tròn, elip để giải quyết bài toán.

Để nắm vững và vận dụng hiệu quả hai phương pháp này, học sinh cần trang bị nền tảng lý thuyết vững chắc, bao gồm:

1. Bất đẳng thức tam giác: Đây là công cụ cơ bản và quan trọng nhất trong việc đánh giá và tìm cực trị. Cần nắm vững các dạng bất đẳng thức và điều kiện xảy dấu bằng:
   • |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, dấu “=” khi z₁ = kz₂ với k ≥ 0
   • |z₁ − z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, dấu “=” khi z₁ = kz₂ với k ≤ 0
   • |z₁ + z₂| ≥ ||z₁| − |z₂||, dấu “=” khi z₁ = kz₂ với k ≤ 0
   • |z₁ − z₂| ≥ ||z₁| − |z₂||, dấu “=” khi z₁ = kz₂ với k ≥ 0
2. Công thức trung tuyến: |z₁ + z₂|² + |z₁ − z₂|² = 2(|z₁|² + |z₂|²). Công thức này giúp liên hệ giữa tổng và hiệu của hai số phức, hữu ích trong việc biến đổi và tìm cực trị.
3. Tập hợp điểm: Việc hiểu rõ về tập hợp điểm trong mặt phẳng phức là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán cực trị.
   • |z − (a + bi)| = r: Đường tròn tâm I(a; b) bán kính r
   • |z − (a₁ + b₁i)| = |z − (a₂ + b₂i)|: Đường trung trực của AB với A(a₁; b₁), B(a₂; b₂)
   • |z − (a₁ + b₁i)| + |z − (a₂ + b₂i)| = 2a:
     • Đoạn thẳng AB với A(a₁; b₁), B(a₂; b₂) nếu 2a = AB
     • Elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn là 2a nếu 2a > AB
   • Đặc biệt |z + c| + |z − c| = 2a: Elip (E) : x²/a² + y²/b² = 1 với b = √(a² − c²)

Đánh giá và nhận xét: Tài liệu này cung cấp một hướng tiếp cận rõ ràng và có hệ thống cho dạng toán cực trị số phức. Việc trình bày cả hai phương pháp đại số và hình học giúp học sinh có cái nhìn đa chiều và linh hoạt trong việc giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, để thực sự làm chủ dạng toán này, cần luyện tập nhiều bài tập và kết hợp với việc tự nghiên cứu, tìm tòi thêm các kiến thức liên quan.

Lời khích lệ: Bài toán cực trị số phức là một thử thách không nhỏ, nhưng cũng là cơ hội để bạn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và vận dụng kiến thức. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy kiên trì học tập, luyện tập và tìm kiếm sự giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè. Chắc chắn bạn sẽ đạt được thành công!