phương pháp giải nhanh trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số

Bài viết này hướng dẫn phương pháp giải nhanh bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số, một chủ đề quan trọng trong chương trình Giải tích 12. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tự tin khi đối mặt với các dạng bài tập khác nhau.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích các bài tập, từ đó rút ra những kinh nghiệm và chiến lược giải bài hiệu quả. Bên cạnh lời giải chi tiết, bài viết còn cung cấp những nhận xét, đánh giá về ưu điểm của từng phương pháp, cũng như những lưu ý quan trọng để tránh sai sót. Cuối cùng, đừng quên rằng sự kiên trì và nỗ lực là chìa khóa dẫn đến thành công!

Bài tập 1. Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên ℝ?

• A. \(y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} – 3x.\)
• B. \(y = x\sqrt {{x^2} + 1} .\)
• C. \(y = x – \frac{1}{x}.\)
• D. \(y = – \cot x.\)

Chọn B.

Lời giải tự luận 1: (Thực hiện từ trái qua phải):

• Với hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} – 3x\) xác định trên ℝ thì:
• \(y’ = 4x\left( {{x^2} + 1} \right) – 3\) = \(4{x^3} + 4x – 3.\)
• Hàm số không thể đồng biến trên ℝ bởi \(y'(0) = – 3 < 0\), do đó đáp án A bị loại.
• Với hàm số \(y = x\sqrt {{x^2} + 1}\) xác định trên ℝ thì:
• \(y’ = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1}}} /> 0\), ∀x ∈ ℝ.
• Do đó đáp án B là đúng, tới đây ta dừng lại.

Lời giải tự luận 2: (Thực hiện từ phải qua trái):

• Với hàm số \(y = – \cot x\) xác định trên ℝ\{ kπ ,k ∈ ℤ} nên đáp án D bị loại.
• Với hàm số \(y = x – \frac{1}{x}\) xác định trên ℝ\{ 0} nên đáp án C bị loại.
• Với hàm số \(y = x\sqrt {{x^2} + 1}\) xác định trên ℝ thì:
• \(y’ = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1}}} /> 0\), ∀x ∈ ℝ.
• Do đó đáp án B là đúng, tới đây chúng ta dừng lại.

Lựa chọn đáp án bằng phép thử:

• Trước tiên, hàm số đồng biến trên ℝ thì phải xác định trên ℝ. Do đó, các đáp án C và D bị loại. Tới đây ta chỉ còn phải lựa chọn A và B.
• Vì A là hàm số bậc bốn nên có đạo hàm là một đa thức bậc ba, và một đa thức bậc ba thì không thể luôn dương (do phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm), suy ra đáp án A không thỏa mãn.
• Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.

Nhận xét: Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau:

• Phương pháp 1 (Tự luận từ trái qua phải): Tính đạo hàm, sau đó xét dấu đạo hàm để kết luận về tính đơn điệu.
• Phương pháp 2 (Tự luận từ phải qua trái): Loại các đáp án không xác định trên ℝ, sau đó tính đạo hàm và xét dấu.
• Phương pháp 3 (Phép thử): Sử dụng điều kiện cần để hàm số đơn điệu trên ℝ (phải xác định trên ℝ), sau đó loại dần các đáp án.

Bài tập 2. Hàm số nào sau đây là hàm số nghịch biến trên ℝ?

• A. \(y = – {x^3} + 2{x^2} – x + 3.\)
• B. \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
• C. \(y = \cos 2x – 2x + 3.\)
• D. \(y = \sqrt {1 – {x^2}} .\)

Chọn C.

Lời giải tự luận 1: (Thực hiện từ trái qua phải):

• Với hàm số \(y = – {x^3} + 2{x^2} – x + 3\) xác định trên ℝ thì:
• \(y’ = – 3{x^2} + 4x – 1.\)
• \(y’ \le 0\) ⇔ – 3{x^2} + 4x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ \(\frac{1}{3}\) hoặc x ≥ 1.
• Do đó đáp án A bị loại.
• Với hàm số \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 1\) xác định trên ℝ thì:
• \(y’ = – 4{x^3} + 4x.\)
• \(y’ \le 0\) ⇔ – 4{x^3} + 4x ≤ 0 ⇔ – 4x({x^2} – 1) ≤ 0 ⇔ – 1 ≤ x ≤ 0 hoặc x ≥ 1.
• Do đó đáp án B bị loại.
• Với hàm số \(y = \cos 2x – 2x + 3\) xác định trên ℝ thì:
• \(y’ = – 2\sin 2x – 2\) = – 2(\sin 2x + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ.
• Do đó đáp án C là đúng, tới đây chúng ta dừng lại.

Các bài tập tiếp theo sẽ được trình bày tương tự, bao gồm lời giải tự luận, phương pháp lựa chọn đáp án bằng phép thử và nhận xét. Hãy cố gắng tự giải trước khi xem lời giải để kiểm tra kiến thức của mình nhé!

Lời khích lệ: Các em hãy nhớ rằng, toán học không phải là một môn học khó khăn nếu các em có phương pháp học tập đúng đắn và sự kiên trì. Đừng ngại đặt câu hỏi và tìm kiếm sự giúp đỡ khi gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt và đạt được kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!