phương pháp giải nhanh trắc nghiệm cực trị của hàm số

## Hướng dẫn Giải Nhanh Bài Toán Trắc Nghiệm Cực Trị của Hàm Số (Giải tích 12) Bài viết này hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về cực trị của hàm số (Giải tích 12) bằng cách sử dụng phép thử và sự hỗ trợ của máy tính cầm tay Casio – Vinacal. **A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ** **1. Khái niệm cực trị của hàm số** **Định nghĩa:** Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập hợp \(D\) \((D \subset R)\) và \({x_0} \in D.\) a) \({x_0}\) gọi là một điểm cực đại của hàm số \(y = f(x)\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\) sao cho \((a;b) \subset D\) và \(f(x) < f\left( {{x_0}} \right)\), \(\forall x \in (a;b)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}.\)

Khi đó \(f\left( {{x_0}} \right)\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số \(f(x).\) b) \({x_0}\) gọi là một điểm cực tiểu của hàm số \(y = f(x)\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\) sao cho \((a;b) \subset D\) và \(f(x) /> f\left( {{x_0}} \right)\), \(\forall x \in (a;b)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}.\)

Khi đó \(f\left( {{x_0}} \right)\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số \(f(x).\) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. **2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị** Xét hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in (a;b).\) **Định lí 1:** Giả sử hàm số \(y = f(x)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\) Khi đó, nếu \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0.\) **3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị** **Định lí 2:** Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right).\) Khi đó: a) Nếu \(f’\left( {{x_0}} \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f’\left( {{x_0}} \right) /> 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}.\) b) Nếu \(f’\left( {{x_0}} \right) /> 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f’\left( {{x_0}} \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm \({x_0}.\) Nói một cách vắn tắt: Nếu khi \(x\) qua \({x_0}\), đạo hàm đổi dấu thì điểm \({x_0}\) là một điểm cực trị của hàm số. Từ định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: **Quy tắc 1:** Để tìm cực trị của hàm số \(y = f(x)\) ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Tính \(f'(x).\) + Bước 2: Tìm các điểm \({x_i}\) \((i = 1;2 \ldots )\) tại đó đạo hàm của hàm số bằng \(0\) hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. + Bước 3: Xét dấu \(f'(x).\) Nếu \(f'(x)\) đổi dấu khi x qua điểm \({x_i}\) thì hàm số đạt cực trị tại \({x_i}.\) **Định lí 3:** Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp một trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\), \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f(x)\) có đạo hàm cấp hai khác \(0\) tại điểm \({x_0}.\) a) \(f”\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_0}.\) b. Nếu \(f”\left( {{x_0}} \right) /> 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}.\) Từ định lí 3 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: **Quy tắc 2:** Để tìm cực trị của hàm số \(y = f(x)\) ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Tính \(f'(x).\) + Bước 2: Tìm các nghiệm \({x_i}\) \((i = 1;2 \ldots .)\) của phương trình \(f'(x) = 0.\) + Bước 3: Với mỗi \(i\) ta tính \(f”\left( {{x_i}} \right)\), khi đó: Nếu \(f”\left( {{x_i}} \right) < 0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_i}.\) Nếu \(f”\left( {{x_i}} \right) /> 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_i}.\) **B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM** **(Các bài tập và lời giải được trình bày tương tự như trong nội dung gốc, nhưng được lược bớt phần nhận xét và khuyến khích để đảm bảo tính chuyên nghiệp và ngắn gọn.)** **Bài tập 1.** Cho hàm số \(y = {x^3} + 6{x^2} + 9x – 3.\) Hàm số có: A. Một cực đại và một cực tiểu. B. Hai cực đại. C. Hai cực tiểu. D. Không có cực trị. **Chọn A.** **Lời giải:** + \(y’ = 3{x^2} + 12x + 9.\) + \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = – 1\) hoặc \(x = – 3.\) + Hàm số có một cực đại và một cực tiểu. **Bài tập 2.** Cho hàm số \(y = {x^4} – 8{x^2} + 2.\) Hàm số có: A. Một cực đại và hai cực tiểu. B. Một cực tiểu và hai cực đại. C. Một cực đại và không có cực tiểu. D. Một cực đại và một cực tiểu. **Chọn A.** **Lời giải:** + \(y’ = 4{x^3} – 16x.\) + \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 2.\) + Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu. **(Các bài tập 3-22 được trình bày tương tự, lược bỏ phần nhận xét và lời khuyên.)** **Bài tập 23.** Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1}}{{x – m}}\). Hàm số có cực đại và cực tiểu khi: A. \(m = 1.\) B. \(m = 2.\) C. \(m = 4.\) D. \(\forall m.\) **Chọn D.** **Lời giải:** \(y’ = 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}.\) Giải \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = m \pm 1 \in D.\) Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. **Lời khuyên:** Các em học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số, đặc biệt là các định lý và quy tắc tìm cực trị. Bên cạnh đó, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập trắc nghiệm khác nhau sẽ giúp các em làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải nhanh, chính xác. Chúc các em học tập tốt!