Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Trong hình học, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Đối với một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh là đường thẳng vuông góc với cạnh đó tại trung điểm của cạnh đó. Ba đường trung trực của ba cạnh của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

1. Định nghĩa đường trung trực

Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB. Ký hiệu: d ⊥ AB tại M (M là trung điểm AB).

2. Tính chất đường trung trực

Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó và ngược lại, mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

3. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của ba cạnh của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

4. Chứng minh tính chất ba đường trung trực của tam giác

Để chứng minh tính chất này, ta xét tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Vẽ các đường trung trực d1, d2, d3 của BC, CA, AB. Ta cần chứng minh d1, d2, d3 đồng quy.

1. Gọi O là giao điểm của d1 và d2. Vì O nằm trên d1 nên OB = OC.
2. Vì O nằm trên d2 nên OA = OC.
3. Từ OB = OC và OA = OC suy ra OB = OA.
4. Do đó, O nằm trên d3.
5. Vậy, d1, d2, d3 đồng quy tại O.

5. Ứng dụng của tính chất ba đường trung trực

• Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
• Giải các bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến các đỉnh của tam giác.
• Chứng minh các tính chất hình học khác.

6. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ đường trung trực của các cạnh AB và AC. Gọi D là giao điểm của hai đường trung trực này. Chứng minh rằng D cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác.

Giải:

• Vì D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB.
• Vì D nằm trên đường trung trực của AC nên DA = DC.
• Từ DA = DB và DA = DC suy ra DA = DB = DC.
• Vậy, D cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác.

7. Mở rộng kiến thức

Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác là giao điểm của ba đường trung trực. Tâm này cũng là tâm đối xứng của tam giác nếu tam giác đó cân tại một đỉnh.

8. Luyện tập thêm

Để hiểu rõ hơn về tính chất ba đường trung trực của tam giác, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm các bài tập trên giaitoan.edu.vn hoặc trong sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tính chất ba đường trung trực của tam giác. Chúc bạn học tốt!