Chào mừng bạn đến với bài học Bài 4. Vi phân - SGK Toán 11 Nâng cao thuộc chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về vi phân, một khái niệm nền tảng trong giải tích.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học toán online hiệu quả và thú vị. Hãy cùng khám phá nội dung chi tiết của bài học này!
Bài 4 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào khái niệm vi phân, một công cụ mạnh mẽ để xấp xỉ sự thay đổi của một hàm số. Vi phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Vi phân của hàm số f(x) tại điểm x0, ký hiệu df(x0), là phần tuyến tính của sự thay đổi của hàm số f(x) khi x thay đổi một lượng nhỏ Δx quanh x0. Công thức tính vi phân là:
df(x0) = f'(x0)Δx
Trong đó:
Về mặt hình học, vi phân df(x0) biểu thị sự thay đổi gần đúng của giá trị hàm số f(x) khi x thay đổi từ x0 đến x0 + Δx. Nó tương ứng với sự thay đổi của đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm (x0, f(x0)).
Nếu hàm số f(x, y) có đạo hàm riêng theo x và y, thì vi phân toàn phần của f tại điểm (x0, y0) được định nghĩa là:
df(x0, y0) = (∂f/∂x)(x0, y0)dx + (∂f/∂y)(x0, y0)dy
Vi phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc:
Ví dụ 1: Tính vi phân của hàm số f(x) = x2 tại x = 2 với Δx = 0.1.
Giải:
f'(x) = 2x
f'(2) = 4
df(2) = f'(2)Δx = 4 * 0.1 = 0.4
Ví dụ 2: Cho hàm số z = x2 + y2. Tính vi phân toàn phần của z tại điểm (1, 1) với dx = 0.01 và dy = -0.02.
Giải:
∂z/∂x = 2x
∂z/∂y = 2y
(∂z/∂x)(1, 1) = 2
(∂z/∂y)(1, 1) = 2
dz(1, 1) = 2dx + 2dy = 2 * 0.01 + 2 * (-0.02) = -0.02
Để nắm vững kiến thức về vi phân, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
