Bài học này thuộc chương 8: Tam giác, sách Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá những tính chất quan trọng của đường trung trực trong tam giác, một kiến thức nền tảng cho các bài học hình học tiếp theo.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Để xác định đường trung trực, ta cần tìm trung điểm của đoạn thẳng và vẽ đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại điểm đó.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB. Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, nếu một điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Chứng minh: Xét tam giác ABC, M là trung điểm của BC, đường thẳng d là đường trung trực của BC. Gọi A' là giao điểm của d và BC. Ta có MA = MB và MA' = MB. Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC.
Ba đường trung trực của ba cạnh của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Chứng minh: Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC. Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Vì O nằm trên đường trung trực của AC nên OA = OC. Suy ra OA = OB = OC. Vậy O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC, do đó O nằm trên đường trung trực của BC.
Tính chất ba đường trung trực được ứng dụng để:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Vẽ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, CA. Ba đường trung trực này đồng quy tại điểm O. Chứng minh rằng O cách đều ba đỉnh A, B, C.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA = MB = MC.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác trung bình của tam giác ABC.
Bài 6.1: (SGK Toán 7 - Chân trời sáng tạo tập 2) Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng nếu AB = AC thì AM là đường trung trực của BC.
Lời giải:
Xét tam giác ABM và tam giác ACM, ta có:
Do đó, tam giác ABM = tam giác ACM (c-g-c). Suy ra ∠AMB = ∠AMC. Mà ∠AMB + ∠AMC = 180° (kề bù) nên ∠AMB = ∠AMC = 90°. Vậy AM là đường trung trực của BC.
Bài 6.2: (SGK Toán 7 - Chân trời sáng tạo tập 2) Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng DE // AB và DE = 1/2 AB.
Lời giải:
Vì D là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, DE // AB và DE = 1/2 AB.
Bài 6. Tính chất ba đường trung trực của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 7. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong bài học này sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn về các tính chất của tam giác và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán hình học.
