bài toán tương giao hàm phân thức hữu tỉ chứa tham số

Hướng dẫn chuyên sâu về phương pháp tìm điều kiện tham số trong bài toán giao điểm của hàm phân thức hữu tỉ

Bài viết này dành cho học sinh lớp 12 đang ôn tập chương trình Giải tích, đặc biệt là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Chúng ta sẽ đi sâu vào phương pháp tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt đồ thị hàm phân thức hữu tỉ tại hai điểm phân biệt, một kỹ năng quan trọng thường xuất hiện trong các đề thi.

I. Phương pháp giải toán

Xét hàm số có dạng: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (với điều kiện \(ad – bc \ne 0\)).

Và đường thẳng \(d: y = mx + n\).

Để tìm điều kiện để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình hoành độ giao điểm: Thay \(y\) từ phương trình đường thẳng vào phương trình hàm số, ta được: \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = mx + n\) (với \(x \ne – \frac{d}{c}\)).
2. Biến đổi phương trình: Quy đồng mẫu số và biến đổi phương trình trên thành phương trình bậc hai theo \(x\): \(ax + b = (cx + d)(mx + n) \Leftrightarrow g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0\) (1).
3. Điều kiện để có hai điểm phân biệt: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác \( – \frac{d}{c}\) khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1} \ne 0}\\ {\Delta /> 0}\\ {g\left( { – \frac{d}{c}} \right) /> 0} \end{array}} \right.\)

Nhận xét quan trọng:

• Nếu \(A\), \(B\) là giao điểm của hai đồ thị thì \(A\left( {{x_1};m{x_1} + n} \right)\) và \(B\left( {{x_2};m{x_2} + n} \right)\), với \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).
• Nếu hai giao điểm \(A\), \(B\) thuộc hai nhánh của đồ thị thì ta có \({x_A} < – \frac{d}{c} < {x_B}\).
• Nếu hai giao điểm \(A\), \(B\) cùng thuộc một nhánh của đồ thị hàm số thì ta có \({x_A}\), \({x_B} /> – \frac{d}{c}\) hoặc \({x_A}\), \({x_B} < – \frac{d}{c}\).

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) sao cho:

a) Hai điểm \(A\), \(B\) thuộc về cùng một nhánh của đồ thị hàm số.

b) Độ dài đoạn thẳng \(AB = 2\sqrt 3\).

c) Diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(4\sqrt 3\) với \(O\) là gốc tọa độ.

(Lời giải chi tiết được trình bày trong đề bài gốc)

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) \((C)\). Đường thẳng \(d:y=2x+m\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) sao cho:

a) Trọng tâm của tam giác \(OAB\) thuộc đường thẳng \({d_1}:y = – x + \frac{1}{3}\) với \(O\) là gốc tọa độ.

b) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) nhỏ nhất.

(Lời giải chi tiết được trình bày trong đề bài gốc)

III. Bài tập trắc nghiệm

(Các bài tập trắc nghiệm và đáp án được trình bày trong đề bài gốc)

IV. Bài tập tự luyện

(Các bài tập tự luyện và đáp án được trình bày trong đề bài gốc)

Lời khuyên:

Để nắm vững phương pháp này, các em cần luyện tập thật nhiều bài tập với các dạng khác nhau. Chú ý kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán và sử dụng các công thức, định lý một cách chính xác. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!