Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Định nghĩa

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng ax + by < c (hoặc >, ≤, ≥), trong đó a, b, c là các số thực và a, b không đồng thời bằng 0. x và y là các ẩn số.

Ví dụ: 2x + 3y < 5, -x + y ≤ 1, x - 2y > 0

2. Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn bất phương trình đó.

Để biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d: ax + by = c. Sau đó, xét vị trí của nửa mặt phẳng (bao gồm hoặc không bao gồm đường thẳng d) mà thỏa mãn bất phương trình.

Nếu bất phương trình là ax + by < c, tập nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa các điểm thuộc đường thẳng d.
Nếu bất phương trình là ax + by > c, tập nghiệm là nửa mặt phẳng chứa các điểm thuộc đường thẳng d.
Nếu bất phương trình là ax + by ≤ c, tập nghiệm là nửa mặt phẳng chứa các điểm thuộc đường thẳng d và cả đường thẳng d.
Nếu bất phương trình là ax + by ≥ c, tập nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa các điểm thuộc đường thẳng d và cả đường thẳng d.

3. Các tính chất của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một số tính chất quan trọng:

Nếu ax + by < c và k > 0 thì kax + kby < kc.
Nếu ax + by < c và k < 0 thì kax + kby > kc.
Nếu ax + by < c và a'x + b'y < c' thì không thể suy ra bất kỳ điều gì về mối quan hệ giữa ax + by và a'x + b'y.

4. Giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn nghĩa là tìm tập nghiệm của nó.

Các bước giải:

Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ.
Chọn một điểm không thuộc đường thẳng d (ví dụ, gốc tọa độ O(0; 0)).
Thay tọa độ điểm đó vào bất phương trình ax + by < c (hoặc >, ≤, ≥).
Nếu bất phương trình đúng, tập nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó. Nếu bất phương trình sai, tập nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm đó.
Xác định xem đường thẳng d có thuộc tập nghiệm hay không (dựa vào dấu của bất phương trình).

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x + y < 4

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 4.

Bước 2: Chọn điểm O(0; 0).

Bước 3: Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình: 2(0) + 0 < 4 => 0 < 4 (đúng).

Bước 4: Tập nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ O(0; 0).

Bước 5: Đường thẳng d không thuộc tập nghiệm (vì bất phương trình là <, không phải ≤).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình x - 3y ≥ 2

(Tương tự như ví dụ 1, bạn tự thực hiện các bước giải)

6. Ứng dụng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Giải các bài toán về tối ưu hóa (ví dụ, tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa).
Mô tả các ràng buộc trong các bài toán quy hoạch tuyến tính.
Biểu diễn các vùng giới hạn trong các bài toán thực tế.