chuyên đề cực trị hình học 9

Tài liệu chuyên đề: Phương pháp giải bài toán cực trị Hình học lớp 9

Đây là tài liệu gồm 21 trang, được biên soạn nhằm cung cấp một phương pháp tiếp cận toàn diện và hiệu quả cho các bài toán cực trị trong Hình học lớp 9. Các bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi Toán 9 có độ khó cao, cũng như các đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, khả năng phân tích và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.

A – Phương pháp giải bài toán cực trị hình học

1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học

Bài toán cực trị hình học thường được phát biểu dưới dạng: "Trong tất cả các hình thỏa mãn một tính chất nhất định, hãy tìm hình mà một đại lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích…) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất." Các bài toán này có thể được phân loại thành các dạng sau:

• a) Bài toán về dựng hình: Yêu cầu tìm một hình thỏa mãn các điều kiện cho trước sao cho một đại lượng nào đó đạt cực trị.
  
  Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn, hãy dựng dây đi qua P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
• b) Bài toán về chứng minh: Yêu cầu chứng minh một khẳng định liên quan đến giá trị cực trị của một đại lượng.
  
  Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.
• c) Bài toán về tính toán: Yêu cầu tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng dựa trên các thông số đã cho.
  
  Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h. Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.

2. Hướng giải bài toán cực trị hình học

Để giải quyết bài toán cực trị hình học, ta có thể áp dụng các hướng tiếp cận sau:

1. Tìm giá trị lớn nhất:
   • Chứng minh rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D, giá trị của biểu thức f luôn nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số m (f ≤ m).
   • Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất:
   • Chứng minh rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D, giá trị của biểu thức f luôn lớn hơn hoặc bằng một hằng số m (f ≥ m).
   • Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m.

3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học

Có hai cách trình bày phổ biến:

• Cách 1: Chỉ ra một hình cụ thể thỏa mãn tính chất của đề bài, sau đó chứng minh rằng mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng cần tìm cực trị kém hơn (hoặc lớn hơn) giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra.
• Cách 2: Biến đổi tương đương các điều kiện để đại lượng cần tìm đạt cực trị, thông qua việc biến đổi các đại lượng khác đạt cực trị, cho đến khi tìm ra đáp án thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

B – Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học

Để giải quyết hiệu quả các bài toán cực trị hình học, cần nắm vững các kiến thức sau:

• Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.
• Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc.
• Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.
• Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai.
• Sử dụng bất đẳng thức Cô-si.
• Sử dụng tỉ số lượng giác.

C – Bài tập cực trị hình học 9 có lời giải chi tiết

Tài liệu này cung cấp các bài tập cực trị hình học 9 kèm theo lời giải chi tiết, giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp giải và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Lời khích lệ:

Các bài toán cực trị hình học đòi hỏi sự kiên trì, tư duy sáng tạo và khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Đừng nản lòng trước những thử thách, hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết, làm nhiều bài tập và tìm kiếm sự giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc bạn học tập tốt và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới!