đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt hà tĩnh

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán bậc THPT năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh tổ chức. Kỳ thi được thực hiện trong hai ngày 22/09/2022 (vòng 1) và 23/09/2022 (vòng 2).

Bộ đề này là một tài liệu luyện thi vô cùng giá trị, giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, độ khó và các dạng bài thường gặp trong kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia. Đồng thời, đây cũng là cơ hội để quý thầy cô đánh giá năng lực học sinh và điều chỉnh phương pháp giảng dạy phù hợp.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Tĩnh:

1. Bài 1: Cho trước a, b thuộc N* thỏa mãn a² + b² là tích của các số nguyên tố phân biệt và mỗi số nguyên tố đó đều có dạng 8k - 3 với k thuộc N*.
   • a) Giả sử tồn tại p = 8l – 3 (l thuộc N*) là một ước nguyên tố của a⁴ + b⁴. Chứng minh rằng p là ước của cả a và b.
   • b) Tìm tất cả các cặp (m; n) với m, n thuộc Z mà a^m + bⁿ và aⁿ – b^m là các số chính phương.
2. Bài 2: Với mỗi cặp số nguyên dương (m; n), giả sử ban đầu có m + n hộp được đánh số từ 1 đến m + n, trong đó m hộp đầu tiên mỗi hộp chứa 1 bi đen và n hộp còn lại mỗi hộp chứa 1 bi trắng. Trong mỗi bước, ta được quyền chuyển một bi đen từ hộp i sang hộp i + 1 và một bi trắng từ hộp j sang hộp j – 1 với điều kiện i – j là một số chẵn. Ở đây giả sử rằng mỗi hộp đều đủ lớn để có thể chứa toàn bộ số bi. Cặp số (m; n) được gọi là tốt nếu sau hữu hạn bước chuyển thì n hộp đầu tiên mỗi hộp chứa 1 bi trắng và m hộp còn lại mỗi hộp chứa 1 bi đen. Nếu trái lại thì ta nói (m; n) là cặp xấu.
   • 1) Chứng minh rằng cặp (1; 2021) là cặp xấu.
   • b) Tìm số cặp số nguyên dương (m; n) tốt trong mỗi trường hợp một m + n = 2022 và m + n = 2023.
3. Bài 3: An và Bình đến cửa hàng mua kẹo. Trong cửa hàng có các túi kẹo loại 1 chiếc, 2 chiếc, 4 chiếc … 2³⁰ chiếc. Mỗi loại có nhiều túi. Mỗi bạn chọn mua một số túi ở nhiều loại và mỗi loại có thể mua nhiều túi.
   • a) Số túi ít nhất An cần phải mua để có đúng 1000 chiếc kẹo là bao nhiêu?
   • b) Có bao nhiêu cách chọn 5 túi kẹo đôi một khác loại sao cho tổng số chiếc kẹo được chọn không vượt quá 2023 và nếu túi loại 2ⁿ được chọn (n thuộc N và n ≤ 29) thì túi loại 2ⁿ⁺¹ không được chọn?
   • c) Giả sử sau khi mua, An và Bình lần lượt có n và n + 1 (n thuộc N và 0 ≤ n ≤ 2023) chiếc kẹo, đồng thời An có nhiều hơn Bình 7 túi kẹo. Có bao nhiêu giá trị n thỏa mãn các điều kiện trên, biết An và Bình luôn mua ít túi nhất có thể?

Đánh giá chung về đề thi:

Đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy logic. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm đại số, số học và tổ hợp, giúp đánh giá toàn diện năng lực của học sinh. Đặc biệt, bài toán số 2 và bài toán 3 có tính ứng dụng cao, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức vào thực tế.

Lời khuyên dành cho các em học sinh:

Đừng nản lòng trước những khó khăn. Hãy xem đây là cơ hội để rèn luyện bản thân và nâng cao kiến thức. Hãy dành thời gian ôn tập kỹ lưỡng các kiến thức cơ bản, luyện giải nhiều bài tập và tìm kiếm sự giúp đỡ từ thầy cô giáo và bạn bè. Chúc các em đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới!

giaitoan.edu.vn luôn đồng hành và hỗ trợ các em trên con đường chinh phục tri thức.