đề chọn học sinh giỏi thành phố môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt hải phòng

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố và đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Phòng tổ chức. Kỳ thi đã diễn ra vào ngày 20 tháng 09 năm 2022.

Bộ đề thi này là một tài liệu vô cùng quý giá, không chỉ giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, mức độ khó của các bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi, mà còn là cơ hội để rèn luyện, nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán. Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:

1. Bài 1: Hình học

   Cho tam giác ABC nhọn, AB < BC < CA, trọng tâm G, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H (D, E, F lần lượt nằm trên BC, CA, AB).

   • a) Đường tròn (BHC) cắt đường tròn đường kính AH tại T khác H. Chứng minh rằng A, T, G thẳng hàng.
   • b) Các điểm I, J, K lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho HI, HJ, HK tương ứng vuông góc với AG, BG, CG. Chứng minh rằng các đường tròn (AGD), (BGE), (CGF) cùng đi qua một điểm L khác G và I, J, K, L thẳng hàng.
2. Bài 2: Đại số

   Chứng minh rằng phương trình (x² + 2y²)² – 2(z² + 2t²)² = 1 có vô hạn nghiệm tự nhiên.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Xâu tam phân độ dài n có dạng X = a₁a₂…a_n với a_k thuộc {0;1;2} với mọi k = 1..n. Một xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại của X có dạng Y = a_ia_i+1…a_j với 1 ≤ i ≤ j ≤ n mà a_i = a_i+1 = … = a_j, ngoài ra a_i-1 khác a_i (nếu i ≥ 2) và a_j khác a_j+1 (nếu j ≤ n – 1). Ví dụ xâu 1000211 có các xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại là 1, 000, 2 và 11.

   • a) Gọi A_n là tập tất cả các xâu tam phân độ dài n mà các xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại đều có độ dài lẻ. Chứng minh rằng |A₂₀₂₃| = 2|A₂₀₂₂| + |A₂₀₂₁|.
   • b) Gọi B_n là tập tất cả các xâu tam phân độ dài n mà 0 và 2 không bao giờ đứng cạnh nhau. Chứng minh rằng |B₂₀₂₃| = |A₂₀₂₃| + |A₂₀₂₂|/3.

Đánh giá chung về đề thi:

Đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải toán tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm kiến thức về hình học, đại số và tổ hợp, giúp đánh giá toàn diện năng lực của học sinh. Đặc biệt, bài toán hình học yêu cầu học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về đường tròn, tam giác và trọng tâm. Bài toán đại số đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích và biến đổi đại số tốt. Bài toán tổ hợp là một bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng đếm chính xác.

Lời khuyên dành cho các em học sinh:

Đừng nản lòng trước những khó khăn. Hãy xem đây là cơ hội để thử thách bản thân và phát triển năng lực. Hãy dành thời gian ôn tập kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tìm hiểu các phương pháp giải toán hiệu quả. Hãy trao đổi, thảo luận với thầy cô giáo và bạn bè để học hỏi kinh nghiệm và tìm ra những hướng giải quyết mới. giaitoan.edu.vn tin rằng, với sự nỗ lực và quyết tâm, các em sẽ đạt được những thành công xứng đáng trong kỳ thi sắp tới!