đề thi chọn học sinh giỏi toán 12 năm 2022 – 2023 sở gd&đt hà nam

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Nam tổ chức, dành cho việc tuyển chọn học sinh xuất sắc tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia.

Đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi bao gồm ba bài toán sau:

1. Bài 1 (Hình học): Cho tam giác ABC có AB < AC và đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Phân giác trong của góc BAC cắt các đường thẳng DE, DF lần lượt tại X, Y. Gọi S, T là các điểm nằm trên cạnh BC sao cho XSY = XTY = 90°.
   • Yêu cầu 1: Chứng minh rằng BX, CY là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính XY.
   • Yêu cầu 2: Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về đường tròn nội tiếp, phân giác, góc và quan hệ giữa các đường tròn. Để giải quyết bài toán, học sinh cần vận dụng linh hoạt các định lý về tiếp tuyến, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, cũng như các tính chất của đường tròn.
2. Bài 2 (Số học): Xét các số a, b, c nguyên, c ≥ 0 thỏa mãn aⁿ + 2n là ước của bⁿ + c với mọi n nguyên dương.
   • Yêu cầu 1: Chứng minh rằng c = 0 hoặc c = 1.
   • Yêu cầu 2: Khi c = 1, chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương.
   Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về lý thuyết ước số, tính chất chia hết và các phương pháp chứng minh trong số học. Việc sử dụng các tính chất của số chính phương cũng là một yếu tố quan trọng để giải quyết bài toán.
3. Bài 3 (Tổ hợp): Với mỗi số tự nhiên n ≥ 4, ký hiệu a_n là số nhỏ nhất các tập con có 3 phần tử của tập hợp S_n = {1; 2; 3; …; n} sao cho với mọi tập con có 4 phần tử của S_n luôn chứa ít nhất một trong các tập con có 3 phần tử này.
   • Yêu cầu 1: Xác định a₆.
   • Yêu cầu 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 4 thì a_n ≥ (1/4).nC₃.
   Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về các khái niệm như tập con, tổ hợp chập k của n phần tử và khả năng đếm. Việc tìm ra một cách tiếp cận phù hợp và sử dụng các kỹ thuật đếm hiệu quả là chìa khóa để giải quyết bài toán.

Lời khích lệ:

Bộ đề thi này là một cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, mở rộng kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi chọn học sinh giỏi. Hãy dành thời gian suy nghĩ, tìm tòi và thử sức với những bài toán này. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy coi đó là động lực để các em cố gắng hơn nữa. Chúng tôi tin rằng, với sự nỗ lực và đam mê, các em sẽ đạt được những thành công xứng đáng. Chúc các em học tập tốt!