đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt hải dương

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hải Dương tổ chức. Kỳ thi đã diễn ra vào thứ Tư, ngày 21 tháng 09 năm 2022.

Đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi bao gồm ba bài toán:

1. Bài Hình học: Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D là hình chiếu của I trên BC, AD cắt lại (O) tại G. Lấy E và F lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và cung lớn BC. Hai đường thẳng ID và FG cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm cạnh BC.
   • a) Chứng minh rằng điểm H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
   • b) Gọi P là điểm trên đường thẳng ID sao cho MP = MB và K trên đường thẳng BC sao cho KP vuông góc PM, KI cắt FG tại N và MN cắt AI tại J. Chứng minh E là trung điểm của IJ.
2. Bài Đại số: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a; b; c) thỏa mãn: a^b + 1 | (a + 1)^c.
3. Bài Tổ hợp – Xác suất: Bạn A có một số chiếc thẻ thuộc ba loại thẻ: thẻ hai mặt đỏ; thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ; thẻ hai mặt vàng. Bạn ấy không phân biệt được màu sắc nên cần một máy scan để quét. Tuy nhiên máy này cũng chỉ có thể phân biệt được tất cả các mặt thẻ úp xuống đưa vào trong máy có đều là màu vàng hay không. Nghĩa là nếu tất cả các mặt úp đều vàng nó sẽ báo vàng, còn chỉ cần có một mặt đỏ trong số đó thì nó báo không vàng. Mỗi lần bạn ấy có thể chọn bao nhiêu thẻ để đưa vào cũng được.
   • a) Chứng minh rằng nếu A có n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và n – 1 thẻ hai mặt vàng thì A có thể sử dụng máy để tìm ra thẻ hai mặt đỏ sau nhiều nhất là [log₂n] bước.
   • b) Xét dãy số Fibonacci (F) với F₁ = 1, F₂ = 1, F_n+2 = F_n+1 + F_n với n ≥ 1. Với n ≥ 4, giả sử bạn A có F_n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và một thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ, còn lại là các thẻ hai mặt vàng. Hỏi bạn ấy có thuật toán nào để có thể tìm ra thẻ hai mặt đỏ bằng cách sử dụng máy nhiều nhất n lần hay không?

Đánh giá chung:

• Đề thi có tính phân loại cao, các bài toán đều có độ khó và yêu cầu trình bày chặt chẽ.
• Bài hình học đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các kiến thức về đường tròn, tam giác và các tính chất liên quan.
• Bài đại số kiểm tra khả năng vận dụng các tính chất chia hết và kỹ năng biến đổi đại số.
• Bài tổ hợp – xác suất là một bài toán thực tế, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng xây dựng thuật toán.

Lời khích lệ:

Đề thi này là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng của mình. Hãy tự tin đối mặt với các bài toán, không ngừng tìm tòi và học hỏi. giaitoan.edu.vn tin rằng với sự nỗ lực và đam mê, các em sẽ đạt được những thành công xứng đáng trên con đường chinh phục tri thức!

Chúc các em học tập tốt!