đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán thpt năm 2024 – 2025 sở gd&đt hà tĩnh

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh tổ chức. Kỳ thi chính thức sẽ diễn ra vào ngày 18 và 19 tháng 09 năm 2024.

Bộ đề này là một tài liệu luyện tập vô cùng quý giá, được thiết kế để giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán khó, nâng cao tư duy logic và khả năng sáng tạo trong môn Toán. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Hình học

   Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF. Gọi Ab là điểm đối xứng của B qua F, Ac là điểm đối xứng của C qua E. Gọi X là giao điểm của DE và AB, Y là giao điểm của DF và AC.

   • a) Chứng minh rằng bốn điểm X, Y, Ab, Ac cùng thuộc một đường tròn.
   • b) Gọi Bc là điểm đối xứng của C qua D, Ba là điểm đối xứng của A qua F, Ca là điểm đối xứng của A qua E, Cb là điểm đối xứng của B qua D. Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AAbAc, BBcBa, CCaCb bằng nhau.

   Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa kiến thức về đối xứng, đường tròn và các tính chất liên quan đến đường cao trong tam giác. Đây là một bài toán điển hình trong các kỳ thi học sinh giỏi, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy hình học không gian tốt và khả năng vẽ hình chính xác.

2. Bài 2: Đại số

   Với x và y nguyên, x | y là ký hiệu y chia hết cho x.

   • a) Có tồn tại hay không các số nguyên a, b, c lớn hơn 1 và thỏa mãn đồng thời ba tính chất: a | 2b – 1, b | 2c – 1 và c | 2a – 1.
   • b) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a;b) sao cho ab | ba – 1.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng các tính chất chia hết và các phương pháp chứng minh đại số. Để giải quyết bài toán, các em cần nắm vững các định lý về chia hết và sử dụng các kỹ thuật như xét tính đồng dư, đánh giá và tìm giới hạn.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Với mỗi số nguyên dương n, đếm số cách điền các số 0, 1, …, 5 vào các ô của bảng ô vuông n x n thỏa mãn:

   • a) Tổng các số trong mỗi hàng đều chia hết cho 2, còn tổng các số trong mỗi cột đều chia hết cho 3.
   • b) Tương tự câu a, nhưng thêm điều kiện tổng các số trong mỗi đường chéo chính chia hết cho 6 (mỗi bảng ô vuông n x n có hai đường chéo chính).

   Nhận xét: Bài toán này là một bài toán tổ hợp khá phức tạp, đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức về tổ hợp và các tính chất về chia hết. Để giải quyết bài toán, các em cần sử dụng các kỹ thuật đếm, phân tích và tổng hợp một cách linh hoạt.

Lời khuyên:

Bộ đề này là một thử thách lớn, nhưng cũng là một cơ hội tuyệt vời để các em học sinh nâng cao trình độ và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia sắp tới. Hãy dành thời gian suy nghĩ kỹ lưỡng, tìm tòi các phương pháp giải khác nhau và trao đổi với thầy cô, bạn bè để cùng nhau học hỏi và tiến bộ.

giaitoan.edu.vn tin rằng với sự nỗ lực và quyết tâm, các em sẽ đạt được những thành công xứng đáng. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi!