đề chọn học sinh giỏi toán 12 năm 2022 – 2023 trường chuyên hà nội – amsterdam

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán cấp thành phố năm học 2022 – 2023 của trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam. Đây là một nguồn tài liệu quý giá để rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải toán, chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.

Bộ đề này không chỉ đánh giá kiến thức nền tảng mà còn đòi hỏi tư duy sáng tạo, khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học để giải quyết các bài toán phức tạp. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Cho đường cong (C) có phương trình y = x³ – 3x² + 2x – 2022. Với mỗi điểm M thuộc (C), gọi d_M là tiếp tuyến của đường cong (C) tại M. Trên (C) lấy điểm M₁ có hoành độ x_M1 = 2022. Từ điểm M₁ ta xây dựng các điểm M₂, M₃, …, M_n theo quy tắc: điểm M_i+1 (i = 1, 2, …, n – 1 với n thuộc N, n ≥ 2) là điểm chung thứ hai của d_Mi (d_Mi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M_i) với đường cong (C). Gọi x_M2, x_M3,…, x_Mn theo thứ tự là hoành độ của các điểm M₂, M₃, …, M_n. Tìm giá trị nhỏ nhất của n để (f(x_Mn) + x_Mn + 2021) chia hết cho 2²⁰²².
2. Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Trên các đoạn thẳng BD, AB’ lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với các đỉnh của hình lập phương sao cho BM = B’N. Gọi a, b theo thứ tự là số đo góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng BD, AB’.
   • a) Chứng minh rằng cos²a + cos²b = 1/2.
   • b) Xác định vị trí của các điểm M, N sao cho độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất. Khi đó MN có phải đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và AB’ không?
   • c) Giả sử các điểm H, K, L (khác điểm A) theo thứ tự di động trên các tia AB, AD, AA’ thỏa mãn. Chứng minh rằng mặt phẳng (HKL) luôn đi qua một điểm cố định khi H, K, L di động thỏa mãn điều kiện trên.
3. Bài 3: Một kỳ thi học sinh giỏi được diễn ra trong 2 ngày. Điểm đánh giá mỗi ngày dùng k (k > 2) giá trị khác nhau (chẳng hạn với k = 2 thì đánh giá là “đạt” (tức là 1) hoặc “không đạt” (tức là 0); với k = 8 thì điểm số dùng để đánh giá là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7). Hãy xác định số nhiều nhất các học sinh dự thi sao cho có thể xảy ra trường hợp là trong k học sinh tùy ý, luôn có một ngày thi mà kết quả của k học sinh này đôi một khác nhau.

Đánh giá chung về đề thi:

Đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các chủ đề: Giải tích, Hình học không gian và Tổ hợp. Các bài toán được xây dựng một cách sáng tạo, có tính ứng dụng cao và đòi hỏi người giải phải có tư duy logic, khả năng phân tích và tổng hợp thông tin tốt.

Nhận xét về ưu điểm:

• Đề thi bao phủ nhiều kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 12.
• Các bài toán có tính phân loại cao, giúp đánh giá chính xác năng lực của học sinh.
• Đề thi khuyến khích học sinh phát triển tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề.

Lời khích lệ:

Các em học sinh thân mến! Đề thi này là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em rèn luyện và nâng cao trình độ. Hãy tự tin đối mặt với các bài toán, không ngừng tìm tòi, học hỏi và áp dụng các kiến thức đã học vào thực tế. Chúc các em đạt được kết quả tốt nhất trong kỳ thi học sinh giỏi sắp tới!

Quý thầy cô giáo hãy sử dụng bộ đề này như một công cụ hỗ trợ đắc lực trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi.