đề học sinh giỏi toán 10 cấp trường năm 2019 – 2020 trường lưu hoàng – hà nội

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 10 cấp trường năm học 2019 – 2020 trường THPT Lưu Hoàng – Hà Nội: Phân tích và Hướng dẫn Giải Chi tiết

Kính gửi các em học sinh yêu Toán!

Chúng ta cùng nhau khám phá và chinh phục bộ đề thi học sinh giỏi Toán 10 cấp trường năm học 2019 – 2020 của trường THPT Lưu Hoàng – Hà Nội. Đây là một nguồn tài liệu quý giá để các em rèn luyện kỹ năng, mở rộng kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi sắp tới. Bộ đề này không chỉ đánh giá khả năng nắm vững kiến thức nền tảng mà còn kiểm tra tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề và sự sáng tạo trong từng bài toán.

Dưới đây là nội dung chi tiết của bộ đề, kèm theo phân tích và hướng dẫn giải:

1. Bài toán 1: Ứng dụng Toán học trong Kinh tế

   Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ lên 200.000đ/1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?

   Nhận xét: Đây là một bài toán thực tế, kết hợp kiến thức về hàm số bậc hai và ứng dụng vào bài toán tối ưu. Bài toán đòi hỏi học sinh phải xây dựng được hàm số biểu diễn thu nhập và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

   Hướng dẫn giải:

   • Đặt giá thuê mới là x (đơn vị: đồng).
   • Số phòng bị bỏ trống là: (x - 2.000.000) / 200.000
   • Số phòng có người thuê là: 32 - (x - 2.000.000) / 200.000
   • Hàm thu nhập: f(x) = x * [32 - (x - 2.000.000) / 200.000]
   • Tìm giá trị x để f(x) đạt giá trị lớn nhất.
2. Bài toán 2: Hàm số bậc hai và Hình học

   Cho hàm số y = -x² + 2(m + 1)x + 1 – m² (m là tham số).

   a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2).

   b) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.

   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, tính chất đối xứng của parabol và ứng dụng vào giải quyết bài toán hình học. Phần b yêu cầu học sinh nắm vững công thức tính giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai.

   Hướng dẫn giải:

   • Phần a: Sử dụng điều kiện đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, tìm mối liên hệ giữa m và tọa độ điểm K.
   • Phần b: Sử dụng công thức đỉnh của parabol để tìm giá trị lớn nhất của hàm số và giải phương trình tìm m.
3. Bài toán 3: Hình học tọa độ và Góc

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 3). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc AMB bằng 45 độ.

   Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải sử dụng kiến thức về vector, tích vô hướng và công thức tính góc giữa hai vector. Đây là một bài toán điển hình về ứng dụng hình học tọa độ để giải quyết bài toán hình học.

   Hướng dẫn giải:

   • Gọi M(x; 0).
   • Tính các vector AM và BM.
   • Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vector.
   • Giải phương trình cos(AMB) = cos(45°) để tìm x.

Lời khuyên:

Các em hãy dành thời gian ôn tập kỹ lý thuyết, làm nhiều bài tập tương tự và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Đừng ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Quan trọng nhất là sự kiên trì và đam mê với môn Toán. Chúc các em học tập tốt và đạt được thành tích cao!

Hãy nhớ rằng: Toán học không chỉ là một môn học, mà còn là một công cụ giúp chúng ta tư duy logic, giải quyết vấn đề và khám phá thế giới xung quanh. Hãy yêu thích và chinh phục môn Toán!