đề lập đội tuyển thi hsg qg môn toán thpt năm 2024 – 2025 sở gd&đt tiền giang

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tiền Giang tổ chức vào ngày 17-18 tháng 9 năm 2024.

Đây là một bộ đề thi có chất lượng chuyên môn cao, là cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán khó, nâng cao tư duy logic và khả năng sáng tạo trong môn Toán. Đề thi bao gồm ba bài toán, được đánh giá là có độ khó tương đương với các đề thi học sinh giỏi Quốc gia những năm trước.

Dưới đây là nội dung chi tiết của bộ đề:

1. Bài 1: Đại số

   Cho đa thức P(x) hệ số nguyên có bậc n ≥ 5 và P(0) = 0. Biết rằng P(x) có n nghiệm nguyên phân biệt và hệ số của bậc cao nhất là số dương.

   • a) Chứng minh rằng đa thức Q(x) = P(x) – 1 không phân tích được thành tích của 2 đa thức hệ số nguyên có bậc không nhỏ hơn 1.
   • b) Chứng minh rằng tập các nghiệm nguyên của đa thức H(x) = P(P(x)) trùng với tập các nghiệm nguyên của đa thức P(x).

   Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi thí sinh có kiến thức vững chắc về đa thức, nghiệm của đa thức và các kỹ năng chứng minh đại số. Ý a là một bài toán khá thách thức, đòi hỏi sự khéo léo trong việc sử dụng các tính chất của đa thức. Ý b liên quan đến việc xét tính đơn ánh của hàm số, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt.

2. Bài 2: Hình học

   Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) (BC không là đường kính). Giả sử đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định; A là điểm thay đổi trên cung lớn BC (A khác B, C). I là trung điểm BC. D là điểm đối xứng với A qua O. BD cắt AC tại E; CD cắt AB tại F. M là trung điểm BF, N là trung điểm CE. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên BC. AI cắt lại (O) tại L khác A.

   • a) Chứng minh bốn điểm M, N, I, K cùng thuộc một đường tròn.
   • b) Chứng minh KL luôn đi qua một điểm cố định.

   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh có kiến thức về đường tròn, tính chất đối xứng, và các kỹ năng chứng minh hình học. Ý a là một bài toán về đường tròn, đòi hỏi thí sinh phải biết cách sử dụng các tính chất của đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và các điểm đặc biệt của tam giác. Ý b là một bài toán về quỹ tích, đòi hỏi thí sinh phải tìm ra một điểm cố định mà đường thẳng KL luôn đi qua.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Trong bảng 10 x 10, viết các chữ số 0, 1, 2, 3, …, 9 theo thứ tự tùy ý vào các ô vuông, mỗi ô vuông một chữ số, sao cho mỗi chữ số xuất hiện 10 lần.

   • a) Hỏi có thể làm điều này sao cho mỗi hàng và mỗi cột chứa không quá bốn chữ số phân biệt không?
   • b) Chứng minh rằng tồn tại một hàng hoặc một cột trong đó có ít nhất bốn chữ số khác nhau.

   Nhận xét: Bài toán tổ hợp này đòi hỏi thí sinh có kiến thức về tổ hợp, các nguyên lý đếm và các kỹ năng chứng minh tổ hợp. Ý a là một bài toán về khả năng, đòi hỏi thí sinh phải tìm ra một cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đề bài. Ý b là một bài toán chứng minh sự tồn tại, đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các nguyên lý đếm và các kỹ năng chứng minh tổ hợp.

Lời khuyên:

Các em học sinh hãy dành thời gian nghiên cứu kỹ bộ đề này, tự mình giải các bài toán và tham khảo các lời giải khác nhau. Việc giải đề thi không chỉ giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi học sinh giỏi Quốc gia mà còn giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề. Chúc các em học tập tốt và đạt được thành tích cao trong kỳ thi sắp tới!