đề thi học sinh giỏi tỉnh toán 12 (chuyên) năm 2022 – 2023 sở gd&đt thừa thiên huế

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12, đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2022 – 2023, do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa Thiên Huế tổ chức. Đây là một đề thi chuyên sâu, đòi hỏi học sinh có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic cao.

Đề thi năm nay bao gồm ba bài toán với độ khó tăng dần, bao trùm các lĩnh vực đại số, hình học và tổ hợp. Dưới đây là nội dung chi tiết:

1. Bài 1: Số học

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) sao cho x⁴ + 10x² + 2y là một số chính phương.

Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức về số chính phương, các phép biến đổi đại số và kỹ năng xét các trường hợp để tìm ra nghiệm.

2. Bài 2: Hình học

Trên đường tròn (O) cho dây cung BC cố định không đi qua O và điểm A thay đổi sao cho A khác B, A khác C. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. Gọi (Q) là đường tròn đi qua hai điểm D, M và tiếp xúc với đường tròn (O); d là tiếp tuyến của (Q) tại D. Gọi N, P lần lượt là giao điểm của d với các đường trung trực của DE và DF. Gọi H là giao điểm của NE và PF, G là trọng tâm của tam giác ABC.

• a) Chứng minh đường tròn (Q) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác DEF.
• b) Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định.

Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn, đường trung trực, trọng tâm và các tính chất liên quan. Việc vẽ hình chính xác và sử dụng các định lý hình học một cách linh hoạt là rất quan trọng để giải quyết bài toán này.

3. Bài 3: Tổ hợp

Cho n là một số nguyên dương. Một bảng n x n gồm n² ô vuông đơn vị, mỗi ô được tô bởi một trong hai màu trắng hoặc đen, được gọi là bảng lồi nếu với mỗi ô được tô màu đen thì ô liền kề nằm bên trái nó hoặc bên trên nó (nếu có) đều được tô màu đen. Với a, b là hai ô vuông đơn vị bất kì của bảng, cặp gồm hai ô vuông (a; b) gọi là cặp đẹp nếu a được tô màu đen, b được tô màu trắng và cả hai đều nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột của bảng.

• a) Với n = 3, hãy chỉ ra bảng lồi 3 × 3 gồm 6 ô đen và có số cặp đẹp lớn nhất.
• b) Tìm số cặp đẹp lớn nhất có thể của một bảng lồi n x n.

Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy logic, phân tích và tìm ra các cấu trúc tối ưu. Việc xây dựng các ví dụ cụ thể và chứng minh tính đúng đắn của kết quả là rất quan trọng.

Lời khuyên: Đề thi này là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng của mình. Hãy dành thời gian suy nghĩ kỹ lưỡng, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và đừng ngại thử nghiệm các phương pháp giải khác nhau. Chúc các em thành công!

giaitoan.edu.vn tin rằng, với sự nỗ lực và quyết tâm, các em sẽ vượt qua mọi khó khăn và đạt được kết quả tốt nhất. Hãy luôn giữ vững niềm tin vào bản thân và không ngừng học hỏi, khám phá những điều mới mẻ trong thế giới Toán học đầy thú vị!