đề thi hsg toán 11 lần 15 năm 2024 hội các trường thpt chuyên dh&đb bắc bộ

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 11 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 lần thứ 15, năm 2024, được tổ chức bởi Hội các trường THPT chuyên vùng Đồng bằng sông Hồng và Bắc Bộ. Kỳ thi đã diễn ra vào ngày 16 tháng 7 năm 2024, là một sân chơi trí tuệ bổ ích, góp phần thúc đẩy phong trào học Toán trong các trường chuyên.

Bộ đề thi năm nay được đánh giá cao về tính đa dạng và phân hóa, bao gồm các bài toán đòi hỏi kiến thức sâu rộng, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic sắc bén. Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi H là trực tâm của tam giác, E và F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Tia phân giác trong góc BAC cắt các đường thẳng OF, OE lần lượt tại P và Q, đồng thời cắt lại đường tròn (O) tại điểm D.
   • a) Chứng minh rằng diện tích hai tam giác PDF và QDE bằng nhau.
   • b) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BP và CQ. Chứng minh rằng đường thẳng HM đi qua điểm chính giữa cung BAC của đường tròn (O).
2. Bài toán 2 (Số học): Cho số nguyên a và số nguyên dương n. Chứng minh rằng chia hết cho n, với (x;y) là ước chung lớn nhất của hai số nguyên x và y.
3. Bài toán 3 (Tổ hợp): Một hình chữ nhật gồm hai ô vuông đơn vị 2 x 1 hoặc 1 x 2 được gọi là một domino. Người ta đặt các domino lên một bảng n x n (n nguyên dương, n ≥ 2) sao cho mỗi domino phủ đúng 2 ô của bảng và không có ô nào được phủ bởi 2 domino khác nhau. Tổng số domino mà các ô của chúng phủ ít nhất một ô của hàng hoặc cột được gọi là trị số của hàng hoặc cột đó. Một cách đặt được gọi là cân bằng nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho mỗi hàng và mỗi cột của nó đều có trị số là k.
   • a) Chứng minh tồn tại các cách đặt cân bằng với n thuộc {4;5} và k = 3.
   • b) Có tồn tại cách đặt cân bằng với n = 2024 hay không? Nếu có, hãy tìm số domino ít nhất cần thiết để có được cách đặt cân bằng cho bảng đó.

Đánh giá chung về đề thi:

• Đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức nền tảng và có khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, công thức.
• Bài toán hình học có tính chất khám phá cao, yêu cầu học sinh có tư duy hình học không gian tốt và khả năng vẽ hình chính xác.
• Bài toán số học kiểm tra kiến thức về ước chung lớn nhất và các tính chất chia hết.
• Bài toán tổ hợp là một bài toán thực tế, đòi hỏi học sinh có khả năng phân tích và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.

Lời khích lệ:

Các em học sinh thân mến! Đề thi này là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em rèn luyện và nâng cao trình độ Toán học của mình. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy cố gắng hết sức, phát huy tối đa khả năng của bản thân. Hãy xem đây là một bước đệm quan trọng để các em đạt được những thành công lớn hơn trong tương lai. giaitoan.edu.vn tin rằng, với sự nỗ lực và đam mê, các em sẽ chinh phục được mọi đỉnh cao!

Chúc các em học tập tốt!