Hàm Số Bậc Hai

Hàm số bậc hai là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là ở lớp 10. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan đến hàm số bậc hai là nền tảng để học tốt các môn học khác và giải quyết các vấn đề thực tế.

1. Định Nghĩa Hàm Số Bậc Hai

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát: y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. 'a' là hệ số bậc hai, 'b' là hệ số bậc nhất và 'c' là hệ số tự do.

2. Các Dạng Biểu Diễn của Hàm Số Bậc Hai

Dạng tổng quát: y = ax² + bx + c
Dạng phân tích: y = a(x - x₁)(x - x₂), với x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0
Dạng chuẩn: y = a(x - h)² + k, với (h, k) là tọa độ đỉnh của parabol

3. Đồ Thị Hàm Số Bậc Hai - Parabol

Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong gọi là parabol. Hình dạng của parabol phụ thuộc vào dấu của hệ số 'a':

Nếu a > 0: Parabol có dạng chữ U, mở lên trên.
Nếu a < 0: Parabol có dạng chữ U ngược, mở xuống dưới.

3.1. Đỉnh của Parabol

Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc cao nhất (nếu a < 0) trên đồ thị. Tọa độ đỉnh (h, k) được tính như sau:

h = -b / 2a
k = f(h) = a(h)² + b(h) + c

3.2. Trục Đối Xứng của Parabol

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng có phương trình x = h. Parabol đối xứng qua trục này.

3.3. Giao Điểm với Trục Hoành (Nghiệm của Phương Trình Bậc Hai)

Giao điểm của parabol với trục hoành là nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Số nghiệm của phương trình bậc hai được xác định bởi delta (Δ):

Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt, parabol cắt trục hoành tại hai điểm.
Nếu Δ = 0: Phương trình có một nghiệm kép, parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm.
Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm, parabol không cắt trục hoành.

Δ = b² - 4ac

4. Các Tính Chất của Hàm Số Bậc Hai

Hàm số bậc hai là hàm chẵn nếu b = 0.
Hàm số bậc hai là hàm lẻ nếu b = 0 và c = 0.
Hàm số bậc hai đồng biến trên khoảng (-∞, -b/2a) nếu a > 0 và nghịch biến trên khoảng (-b/2a, +∞).
Hàm số bậc hai nghịch biến trên khoảng (-∞, -b/2a) nếu a < 0 và đồng biến trên khoảng (-b/2a, +∞).