Logo Header
  1. Môn Toán
  2. Sự biến thiên của hàm số bậc hai.

Sự biến thiên của hàm số bậc hai.

Sự Biến Thiên của Hàm Số Bậc Hai - Nền Tảng Toán Học Quan Trọng

Hàm số bậc hai là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THPT. Việc hiểu rõ sự biến thiên của hàm số bậc hai giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán thực tế và xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức nâng cao.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu về sự biến thiên của hàm số bậc hai, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập luyện tập đa dạng.

(a > 0) Hàm số nghịch biến trên (( - infty ; - frac{b}{{2a}})), đồng biến trên (( - frac{b}{{2a}}; + infty ))

1. Lý thuyết

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)

Trên khoảng \(( - \infty ; - \frac{b}{{2a}})\)

Trên khoảng \(( - \frac{b}{{2a}}; + \infty )\)

\(a > 0\)

Hàm số nghịch biến

Hàm số đồng biến

\(a < 0\)

Hàm số đồng biến

Hàm số nghịch biến

+ Bảng biến thiên

Sự biến thiên của hàm số bậc hai. 1

+ Chú ý

Từ bảng biến thiên, ta thấy

Khi \(a > 0\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \([ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}; + \infty )\)

Khi \(a < 0\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \(( - \infty ; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}]\)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Xét sự biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\)

Hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\) có \(a = 1,b = 2,c = 2\)

\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.1}} = - 1;y( - 1) = {( - 1)^2} + 2.( - 1) + 2 = 1\)

Bảng biến thiên

Sự biến thiên của hàm số bậc hai. 2

Hàm số đồng biến trên \(( - 1; + \infty )\), nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\)

Ví dụ 2.Lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 2x\)

Hàm số \(y = - {x^2} + 2x\) có \(a = - 1,b = 2,c = 0\)

\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1;y(1) = - {1^2} + 2.1 = 1\)

Bảng biến thiên

Sự biến thiên của hàm số bậc hai. 3

Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;1)\), nghịch biến trên \((1; + \infty )\)

Xây dựng nền tảng Toán THPT vững vàng từ hôm nay! Đừng bỏ lỡ Sự biến thiên của hàm số bậc hai. đặc sắc thuộc chuyên mục toán 10 trên nền tảng tài liệu toán. Với bộ bài tập toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chương trình Toán lớp 10, đây chính là "kim chỉ nam" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện, củng cố kiến thức cốt lõi và chuẩn bị hành trang vững chắc cho tương lai. Phương pháp học trực quan, logic sẽ mang lại hiệu quả vượt trội trên lộ trình chinh phục đại học!

Sự Biến Thiên của Hàm Số Bậc Hai: Tổng Quan

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát: y = ax² + bx + c, với a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Sự biến thiên của hàm số này được quyết định bởi các yếu tố như hệ số a, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt khác.

1. Hệ Số a và Chiều Biến Thiên

Hệ số a đóng vai trò quan trọng trong việc xác định chiều biến thiên của parabol:

  • Nếu a > 0: Parabol có dạng chữ U, mở lên trên. Hàm số đồng biến trên khoảng (-b/2a, +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞, -b/2a). Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh parabol.
  • Nếu a < 0: Parabol có dạng chữ U, mở xuống dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, -b/2a) và nghịch biến trên khoảng (-b/2a, +∞). Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol.

2. Đỉnh của Parabol

Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ I(x₀, y₀), trong đó:

  • x₀ = -b/2a
  • y₀ = f(x₀) = a(x₀)² + b(x₀) + c

Đỉnh của parabol là điểm quan trọng để xác định tính chất của hàm số, đặc biệt là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.

3. Trục Đối Xứng

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng có phương trình x = -b/2a. Đường thẳng này đi qua đỉnh của parabol và chia parabol thành hai phần đối xứng nhau.

4. Bảng Biến Thiên

Bảng biến thiên là một công cụ hữu ích để tóm tắt các thông tin quan trọng về sự biến thiên của hàm số. Dưới đây là ví dụ về bảng biến thiên của hàm số bậc hai:

x-∞-b/2a+∞
y'+ (nếu a > 0) hoặc - (nếu a < 0)0- (nếu a > 0) hoặc + (nếu a < 0)
yGiảm (nếu a > 0) hoặc Tăng (nếu a < 0)y₀ (giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất)Tăng (nếu a > 0) hoặc Giảm (nếu a < 0)

5. Các Điểm Đặc Biệt

Ngoài đỉnh, parabol còn có các điểm đặc biệt khác như:

  • Giao điểm với trục Oy: Điểm có tọa độ (0, c)
  • Giao điểm với trục Ox: Các nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0. Số nghiệm của phương trình này phụ thuộc vào delta (Δ = b² - 4ac):
    • Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt, parabol cắt trục Ox tại hai điểm.
    • Δ = 0: Phương trình có một nghiệm kép, parabol tiếp xúc với trục Ox tại một điểm.
    • Δ < 0: Phương trình vô nghiệm, parabol không cắt trục Ox.

6. Ứng Dụng của Sự Biến Thiên Hàm Số Bậc Hai

Kiến thức về sự biến thiên của hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

  • Giải các bài toán vật lý liên quan đến chuyển động ném.
  • Xây dựng các mô hình toán học để mô tả các hiện tượng tự nhiên.
  • Tối ưu hóa các bài toán kinh tế.

7. Bài Tập Luyện Tập

Để nắm vững kiến thức về sự biến thiên của hàm số bậc hai, bạn nên luyện tập các bài tập sau:

  1. Xác định hệ số a, b, c của hàm số bậc hai.
  2. Tìm tọa độ đỉnh của parabol.
  3. Vẽ đồ thị của hàm số bậc hai.
  4. Lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai.
  5. Giải các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về sự biến thiên của hàm số bậc hai. Hãy truy cập giaitoan.edu.vn để học thêm nhiều kiến thức toán học thú vị khác!

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 10