Hiểu rõ về tính chẵn lẻ giúp chúng ta phân tích và vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác hơn. Bài viết này tại giaitoan.edu.vn sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ và dễ hiểu về chủ đề này.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, điều kiện nhận biết và các ví dụ minh họa để nắm vững kiến thức này.
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = f(x)) Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = - f(x))
1. Lý thuyết
+ Định nghĩa:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có tập xác định D.
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\)
Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = - f(x)\)
+ Nhận xét:
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = f(x)\)
Bước 2: Chứng minh D là tập đối xứng, tức là \(\forall x \in D\) suy ra \( - x \in D\)
Bước 3: Tính \(f( - x)\)
2. Ví dụ minh họa
Hàm số chẵn
\(y = 2\); \(y = a{x^2}\) (với a là hằng số cho trước)
Hàm số lẻ
\(y = {x^3}\); \(y = \frac{1}{x}\)
Hàm số không chẵn, không lẻ
\(y = x + 1\); \(y = 2{x^2} - 5x + 3\)
Đặc biệt: Hàm số \(y = 0\) là hàm vừa chẵn vừa lẻ.
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số
a) \(y = 2022x\)
b) \(y = 3{x^2} + 5\)
c) \(y = \sqrt {1 - x} \)
d) \(y = \;|x - 2|\)
Lời giải chi tiết
a) Hàm số \(f(x) = 2022x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(f( - x) = 2022.( - x) = - 2022x = - f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = 2022x\) là hàm số lẻ.
b) Hàm số \(f(x) = 3{x^2} + 5\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(f( - x) = 3{( - x)^2} + 5 = 3{x^2} + 5 = f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = 3{x^2} + 5\) là hàm số chẵn.
c) Hàm số \(y = \sqrt {1 - x} \) có tập xác định \(D = ( - \infty ;1]\).
Với \(x = - 2 \in D\) thì \( - x = 2 \notin D\)
\( \Rightarrow \) D không là tập đối xứng.
Vậy hàm số không chẵn, không lẻ
d) Hàm số \(y = \;|x - 2|\)có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)
Tại \(x = 1 \in D\) ta có: \(f( - 1) = | - 1 - 2| = 3;f(1) = |1 - 2| = 1; - f(1) = - 1\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f( - 1) \ne f(1)\\f( - 1) \ne - f(1)\end{array} \right.\)
Vậy hàm số \(y = \;|x - 2|\) không chẵn, không lẻ.
Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực giải tích, tính chẵn lẻ của hàm số là một thuộc tính quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi và đặc điểm của hàm số. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về tính chẵn lẻ của hàm số, bao gồm định nghĩa, điều kiện nhận biết, các ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế.
Một hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn điều kiện:
f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số.
Một hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu thỏa mãn điều kiện:
f(-x) = -f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số.
Nếu một hàm số không thỏa mãn cả hai điều kiện trên, nó được gọi là hàm số không chẵn, không lẻ.
Để xác định một hàm số là chẵn, lẻ hay không chẵn không lẻ, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Thay -x vào hàm số và so sánh với f(x). Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số chẵn. Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số lẻ.
Nếu đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy thì hàm số chẵn. Nếu đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O thì hàm số lẻ.
Hàm số f(x) = x2 là hàm số chẵn vì:
f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)
Hàm số f(x) = x3 là hàm số lẻ vì:
f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)
Hàm số f(x) = x + 1 là hàm số không chẵn, không lẻ vì:
f(-x) = -x + 1 ≠ f(x) và f(-x) = -x + 1 ≠ -f(x)
Tính chẵn lẻ của hàm số là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong toán học. Việc nắm vững kiến thức về tính chẵn lẻ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về các hàm số và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng bài viết này tại giaitoan.edu.vn đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và đầy đủ về chủ đề này.
