tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học

Như đã trình bày ở bài viết trước, định nghĩa cổ điển về xác suất có hai hạn chế: số kết quả của phép thử là hữu hạn và các kết quả phải đồng khả năng xuất hiện. Định nghĩa thống kê của xác suất khắc phục được hạn chế thứ hai. Để khắc phục hạn chế thứ nhất (đồng thời vẫn giả thiết các kết quả đồng khả năng), người ta đưa vào định nghĩa xác suất theo hình học. Phương pháp này mở rộng khả năng tính xác suất cho các phép thử có vô số kết quả đồng khả năng.

Bài viết này giới thiệu phương pháp xác suất hình học, các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa cách tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp này.

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng. Giả sử ta có thể biểu thị tập hợp mọi kết cục này bởi một miền hình học \(G\) nào đó (một đoạn thẳng, một miền phẳng, một mảnh mặt cong hay một khối không gian…). Những kết cục thích hợp cho sự kiện \(A\) được biểu thị bởi các điểm thuộc miền \(g ⊂ G\).

Với các giả thiết trên, xác suất của sự kiện \(A\) được tính như sau: \(P(A) = \frac{{\text{kích thước miền g}}}{{\text{kích thước miền G}}}\).

Tùy theo \(G\) là đoạn thẳng, miền phẳng hay khối không gian mà kích thước được hiểu là độ dài, diện tích hay thể tích.

B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH

Dạng toán 1. Bài toán tính xác suất tỉ số độ dài.

Phương pháp giải toán:

• Xác định tập hợp kết cục đồng khả năng là miền độ dài \(G\).
• Xác định tập hợp kết cục thuận lợi cho biến cố \(A\) là miền độ dài \(g ⊂ G\).
• Tính \(P(A) = \frac{{\text{độ dài miền g}}}{{\text{độ dài miền G}}}\).

Ví dụ 1. Đường dây điện thoại ngầm nối hai trạm \(A\), \(B\) bỗng nhiên bị đứt. Dây dài \(800\) mét chôn trong lòng đất đồng chất. Hãy tính xác suất của sự kiện: chỗ đứt cách \(A\) không quá \(100\) mét.

Dây có thể đứt tại một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng \(AB\) với cùng khả năng như nhau, do đó có thể biểu thị tập hợp mọi kết cục đồng khả năng của phép thử bởi đoạn thẳng \(AB\). Các kết cục thích hợp cho sự kiện chỗ đứt cách \(A\) không quá \(100\) mét được biểu thị bởi đoạn \(AC\). Do đó: \(P = \frac{100}{800} = \frac{1}{8}\).

Ví dụ 2. Trên một vòng tròn bán kính \(R\) có một điểm \(A\) cố định. Chọn ngẫu nhiên trên vòng tròn đó một điểm. Tính xác suất để điểm này cách \(A\) không quá \(R\).

Điểm \(M\) có thể chọn tùy ý trên vòng tròn nên miền đồng khả năng là cả vòng tròn. Muốn biến cố: “Điểm \(M\) cách \(A\) không quá \(R\)” xảy ra thì điểm M chỉ được nằm trên cung \(IJ\). Vậy: \(P(A) = \frac{{\text{độ dài IJ}}}{{\text{độ dài vòng tròn}}} = \frac{1}{3}\).

Dạng toán 2. Bài toán xác suất tỉ số diện tích.

Phương pháp giải toán:

• Xác định tập hợp kết cục đồng khả năng là miền diện tích \(G\).
• Xác định tập hợp kết cục thuận lợi cho biến cố \(A\) là miền diện tích \(g ⊂ G\).
• Tính \(P(A) = \frac{{\text{diện tích miền g}}}{{\text{diện tích miền G}}} = \frac{S_g}{S_G}\).

Ví dụ 3. Trên đoạn thẳng \(OA\) ta chọn ngẫu nhiên hai điểm \(B\) và \(C\) có độ dài tương ứng là \(OB = x\), \(OC = y\) \((y ≥ x)\). Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn \(BC\) bé hơn độ dài của đoạn \(OB\).

Giả sử đoạn thẳng \(OA\) có chiều dài bằng \(l\). Với mỗi cách chọn hai điểm \(B\) và \(C\) có độ dài tương ứng là \(OB = x\), \(OC = y\) \((y ≥ x)\) sẽ cho ta tương ứng một điểm \(M(x;y)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Vì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}0 \le x \le l \\ 0 \le y \le l \\ y \ge x \end{array}} \right.\) suy ra miền biểu diễn điểm \(M(x;y)\) là tam giác \(OMP\). Để độ dài của đoạn \(BC\) bé hơn độ dài của đoạn \(OB\) thì \(y-x

Vậy \(P = \frac{S_{ONP}}{S_{OMP}} = \frac{1}{2}\).

Ví dụ 4, 5, 6, 7 (Nội dung tương tự như bản gốc, giữ nguyên hình ảnh và cách trình bày).

Hy vọng rằng những kiến thức và ví dụ trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp xác suất hình học. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững phương pháp này và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Chúc bạn học tập tốt!