Ba trường hợp đồng dạng của tam giác

Trong hình học, hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng hình dạng nhưng kích thước có thể khác nhau. Việc xác định hai tam giác đồng dạng là một kỹ năng quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác và các hình hình học khác. Chương 9 Toán 8 tập trung vào việc tìm hiểu các điều kiện để hai tam giác đồng dạng, đặc biệt là ba trường hợp đồng dạng cơ bản.

I. Định nghĩa tam giác đồng dạng

Hai tam giác ABC và A'B'C' được gọi là đồng dạng với nhau, ký hiệu là ΔABC ~ ΔA'B'C', nếu các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'
AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'

II. Ba trường hợp đồng dạng của tam giác

Có ba trường hợp cơ bản để xác định hai tam giác đồng dạng:

1. Trường hợp 1: Nếu hai góc của một tam giác bằng hai góc của một tam giác khác thì hai tam giác đó đồng dạng.

Phát biểu: Nếu ∠A = ∠A' và ∠B = ∠B' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.

Chứng minh: (Dựa trên tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ)

Ví dụ: Cho ΔABC có ∠A = 60°, ∠B = 80°. Cho ΔA'B'C' có ∠A' = 60°, ∠B' = 80°. Chứng minh ΔABC ~ ΔA'B'C'.

2. Trường hợp 2: Nếu hai cạnh của một tam giác tỉ lệ với hai cạnh của một tam giác khác và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Phát biểu: Nếu AB/A'B' = AC/A'C' và ∠A = ∠A' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.

Chứng minh: (Sử dụng định lý cosin)

Ví dụ: Cho ΔABC có AB = 3cm, AC = 4cm, ∠A = 90°. Cho ΔA'B'C' có A'B' = 6cm, A'C' = 8cm, ∠A' = 90°. Chứng minh ΔABC ~ ΔA'B'C'.

3. Trường hợp 3: Nếu ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với ba cạnh của một tam giác khác thì hai tam giác đó đồng dạng.

Phát biểu: Nếu AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.

Chứng minh: (Sử dụng định lý cosin)

Ví dụ: Cho ΔABC có AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 4cm. Cho ΔA'B'C' có A'B' = 4cm, B'C' = 6cm, C'A' = 8cm. Chứng minh ΔABC ~ ΔA'B'C'.

III. Ứng dụng của tam giác đồng dạng

Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tính chiều cao của các vật thể khó tiếp cận.
Lập bản đồ và đo đạc.
Giải các bài toán hình học phức tạp.

IV. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về ba trường hợp đồng dạng của tam giác, bạn có thể thực hành các bài tập sau:

Cho ΔABC và ΔA'B'C' có ∠A = ∠A', ∠B = ∠B'. Chứng minh ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Cho ΔABC có AB = 5cm, AC = 7cm, ∠A = 70°. Cho ΔA'B'C' có A'B' = 10cm, A'C' = 14cm, ∠A' = 70°. Chứng minh ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Cho ΔABC có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Cho ΔA'B'C' có A'B' = 6cm, B'C' = 8cm, C'A' = 10cm. Chứng minh ΔABC ~ ΔA'B'C'.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về ba trường hợp đồng dạng của tam giác. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.