Bài 1. Phép biến hình và phép dời hình

Trong chương trình Toán 11, chuyên đề về phép biến hình đóng vai trò quan trọng trong việc mở rộng và đào sâu kiến thức về hình học. Bài 1, với tiêu đề "Phép biến hình và phép dời hình", là nền tảng để hiểu rõ hơn về các phép biến hình phức tạp hơn trong các bài học tiếp theo.

1. Khái niệm phép biến hình

Một phép biến hình là một quy tắc xác định một sự tương ứng giữa các điểm của mặt phẳng. Nói cách khác, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, phép biến hình sẽ xác định một điểm M' cũng trong mặt phẳng đó. Ký hiệu phép biến hình là f: M → M'.

2. Phép dời hình

Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Điều này có nghĩa là nếu hai điểm A và B có khoảng cách AB, thì hai điểm A' và B' tương ứng sau phép dời hình sẽ có khoảng cách A'B' bằng AB.

3. Các loại phép dời hình cơ bản

• Phép tịnh tiến: Là phép biến hình di chuyển mỗi điểm một khoảng không đổi theo một hướng xác định.
• Phép quay: Là phép biến hình quay mỗi điểm một góc không đổi quanh một điểm cố định gọi là tâm quay.
• Phép đối xứng trục: Là phép biến hình đối xứng mỗi điểm qua một đường thẳng cố định gọi là trục đối xứng.
• Phép đối xứng tâm: Là phép biến hình đối xứng mỗi điểm qua một điểm cố định gọi là tâm đối xứng.

4. Tính chất của phép dời hình

Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa các điểm, bảo toàn góc và bảo toàn hình dạng của các hình. Điều này có nghĩa là nếu một hình H bị biến hình thành hình H' qua một phép dời hình, thì hình H' sẽ đồng dạng với hình H.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến.

Giải: Tọa độ điểm A' được tính theo công thức: A'(x_A + x_v; y_A + y_v) = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1).

Ví dụ 2: Cho điểm B(2; -3) và phép quay tâm O(0; 0) góc 90^o. Tìm tọa độ điểm B' là ảnh của B qua phép quay.

Giải: Tọa độ điểm B' được tính theo công thức: B'(-y_B; x_B) = (3; 2).

6. Ứng dụng của phép biến hình và phép dời hình

Phép biến hình và phép dời hình có nhiều ứng dụng trong thực tế, như trong thiết kế đồ họa, xây dựng, hàng không vũ trụ và nhiều lĩnh vực khác. Chúng giúp chúng ta mô tả và phân tích các đối tượng trong không gian một cách chính xác và hiệu quả.

7. Bài tập vận dụng

1. Cho điểm C(-1; 4) và phép đối xứng trục Ox. Tìm tọa độ điểm C' là ảnh của C qua phép đối xứng trục Ox.
2. Cho điểm D(0; -2) và phép đối xứng tâm I(1; 1). Tìm tọa độ điểm D' là ảnh của D qua phép đối xứng tâm I.
3. Chứng minh rằng phép tịnh tiến và phép quay là các phép dời hình.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phép biến hình và phép dời hình. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và chuẩn bị cho các bài học tiếp theo. giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.