Chào mừng bạn đến với bài học số 2 trong chương trình Hình học lớp 11 Nâng cao. Bài học này tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của hình học không gian: hai đường thẳng vuông góc.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, các tính chất liên quan và phương pháp giải các bài toán ứng dụng.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.
Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Đây là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học không gian, là nền tảng để xây dựng và chứng minh nhiều định lý khác.
Để hai đường thẳng a và b vuông góc, ta cần xét các trường hợp sau:
Nếu hai đường thẳng a và b nằm trong cùng một mặt phẳng, điều kiện để chúng vuông góc là tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. Tức là, nếu u là vectơ chỉ phương của a và v là vectơ chỉ phương của b, thì u.v = 0.
Nếu hai đường thẳng a và b không nằm trong cùng một mặt phẳng, chúng vuông góc khi và chỉ khi đường thẳng này vuông góc với hình chiếu của đường thẳng kia lên mặt phẳng chứa nó.
Hai đường thẳng vuông góc có những tính chất quan trọng sau:
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4; 5). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là AB = (3-1; 4-2; 5-3) = (2; 2; 2).
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 + 3t và d2: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Chứng minh rằng hai đường thẳng này vuông góc.
Giải: Vectơ chỉ phương của d1 là u = (1; 2; 3) và vectơ chỉ phương của d2 là v = (-1; 1; -1). Ta có u.v = (1)(-1) + (2)(1) + (3)(-1) = -1 + 2 - 3 = -2 ≠ 0. Vậy hai đường thẳng này không vuông góc.
Kiến thức về hai đường thẳng vuông góc được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán về hình học không gian, đặc biệt là trong việc xác định góc giữa hai đường thẳng, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng, và chứng minh các mối quan hệ hình học.
Để nắm vững kiến thức về hai đường thẳng vuông góc, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm hai đường thẳng vuông góc và các ứng dụng của nó. Chúc bạn học tập tốt!
