Bài 2. Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài 2. Hoán vị. Chỉnh hợp - SGK Toán 10 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 2 trong chương trình Đại số tổ hợp lớp 10 tập 2 sách Cánh diều tập trung vào hai khái niệm quan trọng: hoán vị và chỉnh hợp. Đây là những công cụ cơ bản để đếm số lượng các kết quả có thể xảy ra trong các tình huống khác nhau, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến sắp xếp và chọn lọc.

1. Hoán vị

Định nghĩa: Hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính theo công thức:

P_n = n!

Trong đó, n! (n giai thừa) là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n.

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp k phần tử được chọn từ n phần tử theo một thứ tự nhất định. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính theo công thức:

A_n^k = n! / (n - k)!

3. Phân biệt Hoán vị và Chỉnh hợp

• Hoán vị: Sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp.
• Chỉnh hợp: Sắp xếp một số lượng nhất định (k) các phần tử được chọn từ tập hợp.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Hoán vị): Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau lên một kệ sách?

Giải: Đây là một bài toán hoán vị vì ta sắp xếp tất cả 3 cuốn sách. Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 * 2 * 1 = 6 cách.

Ví dụ 2 (Chỉnh hợp): Từ một nhóm 5 người, chọn ra 3 người để làm ban cán sự (chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký). Có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Đây là một bài toán chỉnh hợp vì ta chọn 3 người từ 5 người và sắp xếp họ vào các vị trí khác nhau. Số cách chọn là A₅³ = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 5 * 4 * 3 = 60 cách.

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau:

1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 lá cờ khác nhau trên một cột cờ?
2. Từ một tập hợp gồm 7 chữ cái, chọn ra 3 chữ cái và sắp xếp chúng thành một từ có nghĩa. Có bao nhiêu từ khác nhau có thể tạo ra?
3. Một lớp học có 20 học sinh. Giáo viên muốn chọn ra 3 học sinh để tham gia một cuộc thi. Có bao nhiêu cách chọn?

6. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về hoán vị và chỉnh hợp, cần xác định rõ:

• Có phải sắp xếp tất cả các phần tử hay chỉ một số lượng nhất định?
• Thứ tự có quan trọng hay không? Nếu thứ tự quan trọng thì ta sử dụng chỉnh hợp, nếu không quan trọng thì ta sử dụng tổ hợp (sẽ được học trong các bài tiếp theo).

7. Kết luận

Bài 2. Hoán vị. Chỉnh hợp là nền tảng quan trọng cho việc học tập và giải quyết các bài toán trong Đại số tổ hợp. Việc nắm vững định nghĩa, công thức và cách áp dụng của hoán vị và chỉnh hợp sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và các ứng dụng thực tế.