Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trong chương trình Toán 10 tập 2, sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc nghiên cứu đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm hình học cơ bản và ứng dụng của chúng trong hệ tọa độ.

I. Khái niệm cơ bản về đường tròn

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trên một mặt phẳng, cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính). Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm I(a, b) và bán kính R là:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Trong đó:

• (x, y) là tọa độ của một điểm bất kỳ trên đường tròn
• (a, b) là tọa độ của tâm đường tròn
• R là bán kính của đường tròn

II. Phương trình đường tròn

Có hai dạng phương trình đường tròn thường gặp:

1. Phương trình chính tắc: (x - a)² + (y - b)² = R²
2. Phương trình tổng quát: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (với a² + b² - c > 0)

Để xác định phương trình đường tròn, ta cần biết tọa độ tâm và bán kính của nó. Ngược lại, từ phương trình đường tròn, ta có thể suy ra tọa độ tâm và bán kính.

III. Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn

Xét điểm M(x₀, y₀) và đường tròn (C) có tâm I(a, b) và bán kính R. Ta tính khoảng cách d từ M đến I:

d = √((x₀ - a)² + (y₀ - b)²)

Khi đó:

• d < R: Điểm M nằm bên trong đường tròn
• d = R: Điểm M nằm trên đường tròn
• d > R: Điểm M nằm bên ngoài đường tròn

IV. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Xét đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và đường tròn (C) có tâm I(a, b) và bán kính R. Ta tính khoảng cách d từ I đến Δ:

d = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)

Khi đó:

• d < R: Đường thẳng cắt đường tròn
• d = R: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
• d > R: Đường thẳng không giao với đường tròn

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Lập phương trình đường tròn có tâm I(2, -3) và bán kính R = 5.

Giải: Phương trình đường tròn là: (x - 2)² + (y + 3)² = 25

Bài 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0.

Giải: Ta có a = 2, b = -3, c = -3. Vậy tâm I(2, -3) và bán kính R = √(a² + b² - c) = √(4 + 9 + 3) = √16 = 4

Bài 3: Cho điểm M(1, 2) và đường tròn (C): (x - 3)² + (y - 1)² = 4. Xác định vị trí tương đối giữa M và (C).

Giải: d = √((1 - 3)² + (2 - 1)²) = √(4 + 1) = √5. Vì √5 < 2, nên M nằm bên trong đường tròn (C).

VI. Kết luận

Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ cung cấp những kiến thức nền tảng về đường tròn, phương trình đường tròn và các ứng dụng của chúng. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!