Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 10 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 59, 60, 61 sách giáo khoa Toán 10 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong học tập.
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên
Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng Oxy.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách hai điểm M, I (hay độ dài đoạn thẳng MI) chính là độ dài vecto \(\overrightarrow {MI} \).
\(\overrightarrow {MI} = \left( {a - x;b - y} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {b - y} \right)}^2}} \).
Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là \(\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \).
Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\).
b) (C) có tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\).
c) (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B(0;1),C(4;3)\).
Phương pháp giải:
a, b) Phương trình đường tròn tâm \(I(a;b)\) và bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
c) Lập phương trình đường trung trực của 2 cạnh => có giao điểm là tâm I cần tìm.
Từ đó tính bán kính R và lập pt đường tròn.
Lời giải chi tiết:
a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\).
b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình là:\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\).
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
Đường trung trực \(\Delta \) của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(x + 3y - 8 = 0\).
Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận vecto \(\overrightarrow {AC} = (3; - 1)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(3x - y - 4 = 0\).
\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.
Phương pháp giải:
Tập hợp các điểm xa nhất tạo thành đường tròn với tâm I (a; b) và bán kính R.
Phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có: tâm \(I(30;40)\) và bán kính \(R = 50\).
Vậy phương trình tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là:
\({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 40} \right)^2} = {50^2}\).
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
b) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\).
c) \({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 5 = 0\).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0\).
Phương pháp giải:
+) Phương trình có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)là đường tròn với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R.
+) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\), khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1,b = 2,c = - 20\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(1;2)\) và có bán kính \(R = \sqrt {25} = 5\).
b) Phương trình \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\) là phương trình dường tròn với tâm \(I( - 5; - 1)\) và bán kinh \(R = \sqrt {121} = 11\).
c) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 2,b = 4,c = 5\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 4 + 16 - 5 = 15 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I( 2; 4)\) và có bán kính \(R = \sqrt {15} \).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 3x + 4y - 1 = 0\).
Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = - \frac{3}{2},b = - 2,c = - 1\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = \frac{{29}}{4}\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I\left( { - \frac{3}{2}; - 2} \right)\) và có bán kính \(R = \sqrt {\frac{{29}}{4}} \).
Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng Oxy.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách hai điểm M, I (hay độ dài đoạn thẳng MI) chính là độ dài vecto \(\overrightarrow {MI} \).
\(\overrightarrow {MI} = \left( {a - x;b - y} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {b - y} \right)}^2}} \).
Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là \(\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \).
Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\).
b) (C) có tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\).
c) (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B(0;1),C(4;3)\).
Phương pháp giải:
a, b) Phương trình đường tròn tâm \(I(a;b)\) và bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
c) Lập phương trình đường trung trực của 2 cạnh => có giao điểm là tâm I cần tìm.
Từ đó tính bán kính R và lập pt đường tròn.
Lời giải chi tiết:
a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\).
b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình là:\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\).
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
Đường trung trực \(\Delta \) của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(x + 3y - 8 = 0\).
Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận vecto \(\overrightarrow {AC} = (3; - 1)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(3x - y - 4 = 0\).
\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
b) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\).
c) \({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 5 = 0\).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0\).
Phương pháp giải:
+) Phương trình có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)là đường tròn với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R.
+) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\), khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1,b = 2,c = - 20\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(1;2)\) và có bán kính \(R = \sqrt {25} = 5\).
b) Phương trình \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\) là phương trình dường tròn với tâm \(I( - 5; - 1)\) và bán kinh \(R = \sqrt {121} = 11\).
c) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 2,b = 4,c = 5\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 4 + 16 - 5 = 15 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I( 2; 4)\) và có bán kính \(R = \sqrt {15} \).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 3x + 4y - 1 = 0\).
Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = - \frac{3}{2},b = - 2,c = - 1\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = \frac{{29}}{4}\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I\left( { - \frac{3}{2}; - 2} \right)\) và có bán kính \(R = \sqrt {\frac{{29}}{4}} \).
Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.
Phương pháp giải:
Tập hợp các điểm xa nhất tạo thành đường tròn với tâm I (a; b) và bán kính R.
Phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có: tâm \(I(30;40)\) và bán kính \(R = 50\).
Vậy phương trình tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là:
\({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 40} \right)^2} = {50^2}\).
Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang gọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\).
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của 3 diễn viên A, B, C như sau: \(A(11;4).B(8;5),C(15;5)\). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?
Phương pháp giải:
a) Với phương trình thì tâm là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)thì tâm là \(I(a;b)\) và bán kính R.
b) Bước 1: Tính khoảng cách của các diễn viên đến tâm vùng sáng.
Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tìm được với bán kính.
+) Nếu nhỏ hơn hoặc bằng bán kính thì được chiếu sáng.
+) Nếu lớn hơn bán kính thì không được chiếu sáng.
Lời giải chi tiết:
a) (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\) nên có tâm là \(I(13;4)\) và bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\).
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {11 - 13} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2,IB = \sqrt {{{\left( {8 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {26} \).
\(IC = \sqrt {{{\left( {15 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
\(2 < 4 \Rightarrow IA < R\), suy ra diễn viên A được chiếu sáng.
\(\sqrt {26} > 4 \Rightarrow IB > R\), suy ra diễn viên B không được chiếu sáng.
\(\sqrt 5 < 4 \Rightarrow IC < R\), suy ra diễn viên C được chiếu sáng.
Vậy diễn viên A và C được chiếu sáng.
Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang gọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\).
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của 3 diễn viên A, B, C như sau: \(A(11;4).B(8;5),C(15;5)\). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?
Phương pháp giải:
a) Với phương trình thì tâm là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)thì tâm là \(I(a;b)\) và bán kính R.
b) Bước 1: Tính khoảng cách của các diễn viên đến tâm vùng sáng.
Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tìm được với bán kính.
+) Nếu nhỏ hơn hoặc bằng bán kính thì được chiếu sáng.
+) Nếu lớn hơn bán kính thì không được chiếu sáng.
Lời giải chi tiết:
a) (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\) nên có tâm là \(I(13;4)\) và bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\).
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {11 - 13} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2,IB = \sqrt {{{\left( {8 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {26} \).
\(IC = \sqrt {{{\left( {15 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
\(2 < 4 \Rightarrow IA < R\), suy ra diễn viên A được chiếu sáng.
\(\sqrt {26} > 4 \Rightarrow IB > R\), suy ra diễn viên B không được chiếu sáng.
\(\sqrt 5 < 4 \Rightarrow IC < R\), suy ra diễn viên C được chiếu sáng.
Vậy diễn viên A và C được chiếu sáng.
Mục 1 của chương trình Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo thường tập trung vào các khái niệm và ứng dụng của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Các bài tập trong trang 59, 60, 61 thường xoay quanh việc xác định phương trình đường thẳng, tìm giao điểm của các đường thẳng, và ứng dụng các kiến thức này để giải quyết các bài toán thực tế.
Các bài tập trong phần này yêu cầu học sinh xác định phương trình đường thẳng dựa trên các thông tin cho trước như hệ số góc và một điểm thuộc đường thẳng, hoặc hai điểm thuộc đường thẳng. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các dạng phương trình đường thẳng: phương trình tổng quát, phương trình tham số, và phương trình đường thẳng theo độ dốc - tung độ gốc.
Ví dụ, để xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm A(x0, y0) và có hệ số góc m, ta sử dụng phương trình y - y0 = m(x - x0).
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình gồm phương trình của hai đường thẳng đó. Có ba trường hợp có thể xảy ra:
Ví dụ, để tìm giao điểm của hai đường thẳng d1: y = x + 1 và d2: y = -x + 3, ta giải hệ phương trình:
x + 1 = -x + 3
=> 2x = 2
=> x = 1
Thay x = 1 vào phương trình d1, ta được y = 1 + 1 = 2. Vậy giao điểm của hai đường thẳng là (1, 2).
Các bài tập ứng dụng thường yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về đường thẳng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học, vật lý, hoặc các lĩnh vực khác. Ví dụ, bài toán tìm quỹ tích của một điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó thường được giải bằng cách sử dụng phương trình đường thẳng.
Ngoài sách giáo khoa, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nắm vững kiến thức về đường thẳng:
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 1 trang 59, 60, 61 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
