Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Trong hình học, một trong những mối quan hệ cơ bản và quan trọng nhất liên quan đến tam giác là mối liên hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bài 31 trong Vở thực hành Toán 7 Tập 2 đi sâu vào khám phá mối quan hệ này, cung cấp nền tảng vững chắc cho việc học tập và giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn.

1. Định lý về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

Định lý cơ bản nhất khẳng định rằng: Trong một tam giác, cạnh lớn hơn đối diện với góc lớn hơn và ngược lại, góc lớn hơn đối diện với cạnh lớn hơn. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta biết độ lớn của một góc trong tam giác, chúng ta có thể suy ra thông tin về độ dài cạnh đối diện và ngược lại.

2. Chứng minh định lý

Việc chứng minh định lý này thường dựa trên việc xét các trường hợp khác nhau của tam giác, sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức tam giác và các định lý về góc ngoài của tam giác. Quá trình chứng minh giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về bản chất của mối quan hệ này.

3. Ứng dụng của định lý

So sánh độ dài các cạnh của tam giác: Nếu biết độ lớn của các góc, ta có thể so sánh độ dài các cạnh đối diện để xác định cạnh nào lớn nhất, cạnh nào nhỏ nhất.
So sánh độ lớn của các góc của tam giác: Nếu biết độ dài các cạnh, ta có thể so sánh độ lớn của các góc đối diện để xác định góc nào lớn nhất, góc nào nhỏ nhất.
Giải các bài toán liên quan đến tam giác: Định lý này được sử dụng để giải nhiều bài toán thực tế liên quan đến tam giác, chẳng hạn như bài toán tìm độ dài cạnh, tìm góc, hoặc chứng minh một tam giác là tam giác nhọn, vuông, hoặc tù.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc B = 70^o, góc C = 50^o. Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC.

Giải:

Ta có góc A = 180^o - (70^o + 50^o) = 60^o. Vì góc B > góc A > góc C, nên cạnh AC > cạnh BC > cạnh AB.

Ví dụ 2: Cho tam giác DEF có cạnh DE = 5cm, cạnh EF = 7cm. Hãy so sánh các góc của tam giác DEF.

Giải:

Vì cạnh EF > cạnh DE, nên góc D > góc F. Để so sánh góc D và góc E, ta cần thêm thông tin về cạnh DF.

5. Bài tập luyện tập

Để nắm vững kiến thức về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, học sinh cần thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập có thể bao gồm:

So sánh các cạnh và góc của tam giác cho trước.
Tìm độ dài cạnh hoặc độ lớn góc khi biết thông tin về các yếu tố khác của tam giác.
Chứng minh một tam giác có tính chất đặc biệt dựa trên mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện.

6. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng định lý về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, cần lưu ý:

Định lý chỉ đúng cho các tam giác.
Cần xác định đúng góc và cạnh đối diện.
Sử dụng các tính chất khác của tam giác để hỗ trợ giải quyết bài toán.

Bài 31 cung cấp một công cụ quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc học tập môn Toán và ứng dụng vào thực tế.