Bài 7. Phép đồng dạng

Bài 7. Phép đồng dạng - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép đồng dạng là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự tương đồng giữa các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng nếu nó bảo toàn tỷ lệ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nói cách khác, nếu A' = f(A) và B' = f(B) thì A'B' / AB = k, với k là một hằng số dương gọi là tỷ số đồng dạng.

2. Các tính chất của phép đồng dạng

• Bảo toàn đường thẳng: Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
• Bảo toàn góc: Phép đồng dạng bảo toàn góc giữa hai đường thẳng.
• Bảo toàn tính liên tục: Phép đồng dạng bảo toàn tính liên tục của một hình.
• Bảo toàn tỷ số: Phép đồng dạng bảo toàn tỷ số của các đoạn thẳng.

3. Phân loại phép đồng dạng

Có hai loại phép đồng dạng chính:

• Phép vị tự: Là phép đồng dạng có tâm vị tự O và tỷ số k.
• Phép đồng dạng có tâm: Là phép đồng dạng có tâm O và tỷ số k, bao gồm phép vị tự và phép affine.

4. Biểu thức của phép đồng dạng

Trong mặt phẳng tọa độ, phép đồng dạng có tâm O(x₀, y₀) và tỷ số k được biểu diễn bởi:

x' = x₀ + k(x - x₀)

y' = y₀ + k(y - y₀)

5. Ứng dụng của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Vẽ bản đồ: Phép đồng dạng được sử dụng để thu nhỏ hoặc phóng to bản đồ.
• Thiết kế đồ họa: Phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các hình ảnh có kích thước khác nhau.
• Kiến trúc: Phép đồng dạng được sử dụng để thiết kế các công trình kiến trúc có tỷ lệ hài hòa.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4), C(5; 1). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỷ số k = 2.

Giải:

A' = (2 * 1; 2 * 2) = (2; 4)

B' = (2 * 3; 2 * 4) = (6; 8)

C' = (2 * 5; 2 * 1) = (10; 2)

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng có tâm O(1; 1) và tỷ số k = 3.

Giải:

Gọi M(x; y) là một điểm bất kỳ trên đường thẳng d. Khi đó, M' = (1 + 3(x - 1); 1 + 3(y - 1)) = (3x - 2; 3y - 2).

Thay x = (x' + 2) / 3 và y = (y' + 2) / 3 vào phương trình đường thẳng d, ta được:

(x' + 2) / 3 + (y' + 2) / 3 - 1 = 0

x' + y' + 4 - 3 = 0

x' + y' + 1 = 0

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép đồng dạng, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về phép đồng dạng. Chúc các em học tập tốt!