bài toán khoảng cách trong không gian – nguyễn tất thu

Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Đây là những kiến thức nền tảng và quan trọng trong chương trình Hình học không gian, thường xuất hiện trong các bài toán thi cử. Việc nắm vững các phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán cụ thể mà còn phát triển tư duy không gian, khả năng phân tích và tổng hợp thông tin.

Ý tưởng chủ đạo trong việc tính toán khoảng cách là việc chuyển đổi bài toán về các bài toán quen thuộc hơn, ví dụ như tìm khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng, hoặc tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chứa đường cao của hình chóp. Đối với các bài toán liên quan đến lăng trụ, việc tách phần cần tính và quy về mô hình hình chóp là một kỹ thuật hữu ích.

Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Cho điểm M và mặt phẳng (α). Yêu cầu: Tính khoảng cách từ M đến (α).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:

1. Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α): Khoảng cách từ M đến (α) chính là độ dài đoạn thẳng MH. Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng khi có thể dễ dàng xác định hình chiếu vuông góc.
2. Sử dụng công thức thể tích: Nếu biết thể tích V của hình chóp có đỉnh M và đáy là một đa giác nằm trên (α), đồng thời biết diện tích S của đa giác đáy đó, ta có thể tính khoảng cách h từ M đến (α) theo công thức: h = 3V/S.
3. Chuyển đổi bài toán: Đôi khi, việc tính khoảng cách từ M đến (α) trực tiếp là khó khăn. Ta có thể tìm một điểm N khác trên (α) sao cho việc tính khoảng cách từ M đến N dễ dàng hơn, sau đó sử dụng các tính chất hình học để suy ra khoảng cách từ M đến (α).
4. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz: Đây là phương pháp tổng quát, có thể áp dụng cho mọi trường hợp. Khi đã có tọa độ của điểm M và phương trình của mặt phẳng (α), ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: d(M, (α)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²), trong đó M(x₀, y₀, z₀) và (α): Ax + By + Cz + D = 0.

Bài toán 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Yêu cầu: Tính khoảng cách giữa a và b.

Có nhiều phương pháp để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

1. Dựng đoạn vuông góc chung MN: Đây là phương pháp trực quan và hiệu quả nhất. Nếu tìm được đoạn thẳng MN vuông góc với cả hai đường thẳng a và b, thì độ dài MN chính là khoảng cách giữa a và b.
2. Dựng mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b: Khi đó, khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên b đến mặt phẳng (α): d(a,b) = d(M,(α)).
3. Dựng hai mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b, (β) đi qua b và song song với a: Khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β): d(a,b) = d((α),(β)).
4. Sử dụng phương pháp tọa độ: Đây là phương pháp tổng quát, có thể áp dụng khi đã có phương trình của hai đường thẳng a và b trong không gian Oxyz.

Đánh giá và nhận xét:

Bài viết đã trình bày một cách hệ thống các phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Các phương pháp được liệt kê đầy đủ, rõ ràng, giúp người học có cái nhìn tổng quan về vấn đề. Tuy nhiên, để hiểu sâu sắc và vận dụng linh hoạt các phương pháp này, cần phải luyện tập thông qua nhiều bài tập khác nhau.

Lời khích lệ:

Hình học không gian có thể gây khó khăn cho nhiều học sinh, nhưng đừng nản lòng! Hãy bắt đầu với những kiến thức cơ bản, nắm vững các định nghĩa và tính chất. Luyện tập thường xuyên, kết hợp với việc vẽ hình và phân tích kỹ lưỡng các bài toán, bạn sẽ dần làm chủ được môn học này. Chúc các bạn học tập tốt và đạt được kết quả cao!