đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt quảng ninh

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh tổ chức. Kỳ thi được thực hiện trong hai ngày 06/10/2022 và 07/10/2022, là một thử thách quan trọng dành cho những học sinh có niềm đam mê và năng lực đặc biệt với môn Toán.

Bộ đề thi này không chỉ là một bài kiểm tra kiến thức, mà còn là cơ hội để các em học sinh rèn luyện tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề sáng tạo và kỹ năng trình bày bài toán một cách chặt chẽ. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Tìm tất cả các đa thức P(x) hệ số thực, thỏa mãn: Nếu tồn tại các số thực a, b, c sao cho 7P(a) + 10P(b) + 2022P(c) = 0 thì 7a + 10b + 2022c = 0. (Đánh giá: Bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về tính chất của đa thức và khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ thuật đại số. Đây là một bài toán điển hình để kiểm tra khả năng tư duy trừu tượng của học sinh.)
2. Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định, BC cố định và điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn, không cân. Lấy điểm X trên đường thẳng AC và điểm Y trên đường thẳng AB sao cho BX, CY vuông góc BC, đường tròn (AXY) cắt (O) tại L khác A.
   • a) Gọi AD là đường kính của (O). Chứng minh rằng đường thẳng DL luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi.
   • b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của BX, CY với đường tròn (AXY). Chứng minh rằng giao điểm của PQ và tiếp tuyến tại A của đường tròn (AXY) luôn nằm trên một đường cố định.
   • c) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A của đường tròn (AXY), tiếp tuyến tại L của (O) và đường thẳng BC đồng quy.
   (Đánh giá: Bài toán hình học này đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa kiến thức về đường tròn, tam giác và các tính chất liên quan. Các em học sinh cần có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ hình học và sử dụng các định lý một cách hợp lý.)
3. Bài 3: Có 2022 học sinh ngồi thành một vòng tròn. Ban đầu, một học sinh nào đó sẽ được đưa cho n đồng xu, n là số nguyên dương. Ở mỗi lượt, tất cả các học sinh hiện có ít nhất 2 đồng xu sẽ chuyển 2 đồng xu sang hai học sinh ngồi bên cạnh (mỗi người 1 đồng xu).
   • a) Chứng minh rằng với n < 2022, quá trình này sẽ dừng sau hữu hạn lượt.
   • b) Chứng minh rằng với n = 2022, quá trình này sẽ kéo dài vô hạn.
   (Đánh giá: Bài toán này mang tính chất tổ hợp và đòi hỏi sự quan sát tinh tế, khả năng phân tích các trường hợp và sử dụng các kỹ thuật chứng minh như quy nạp toán học. Đây là một bài toán thách thức, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng suy luận chặt chẽ.)

Lời khích lệ:

Bộ đề thi này là một bước đệm quan trọng trên con đường chinh phục đỉnh cao của môn Toán. Hãy xem đây là cơ hội để các em học sinh thử thách bản thân, khám phá những tiềm năng ẩn chứa và khẳng định niềm đam mê với môn học này. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy kiên trì, nỗ lực và học hỏi từ những sai lầm. Chúng tôi tin rằng, với sự cố gắng không ngừng, các em sẽ đạt được những thành công xứng đáng. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!