đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2023 – 2024 sở gd&đt đồng nai

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh vào đội dự tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai tổ chức.

Đề thi này là một thử thách thú vị, đánh giá năng lực toàn diện của học sinh trong việc vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán phức tạp. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Dãy số và tính chất số học
   • Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = 1 và un + 1 = 3un + 10 với mọi số nguyên dương n.
   • a) Yêu cầu tìm công thức tổng quát của dãy số (un) và xác định số dư trong phép chia up cho p, với p là số nguyên tố lớn hơn 3. Bài toán này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về dãy số, phương pháp tìm công thức tổng quát và ứng dụng các định lý về số dư.
   • b) Chứng minh với số nguyên dương t > 1, tồn tại số nguyên dương s > t sao cho số ước nguyên tố của us lớn hơn 2 lần số ước nguyên tố của ut. Đây là một bài toán đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số, đặc biệt là về ước số và số nguyên tố.
2. Bài 2: Tổ hợp và bài toán đếm
   • Cho 2024 viên bi được sắp xếp thành một hàng ngang. Tính số các cách đặt 29 chiếc thẻ vào giữa các viên bi thỏa mãn ở giữa hai viên bi kề nhau chỉ có nhiều nhất một chiếc thẻ và các viên bi đã cho được chia thành 30 phần mà mỗi phần có ít nhất 9 viên bi.
   • Bài toán này kiểm tra khả năng tư duy logic và kỹ năng đếm của học sinh. Việc thiết lập mô hình toán học phù hợp và sử dụng các công cụ tổ hợp là chìa khóa để giải quyết bài toán này.
3. Bài 3: Tổ hợp và tính đối xứng
   • Cho 2024 viên bi giống nhau được đặt vào các đỉnh của hình đa giác đều có 2024 cạnh nội tiếp đường tròn (O), mỗi đỉnh chỉ có một viên bi. Tính số các cách đặt 29 chiếc thẻ giống nhau vào trung điểm các cạnh của đa giác đã cho thỏa mãn tại mỗi trung điểm có nhiều nhất một chiếc thẻ và các viên bi đã cho được chia thành 29 phần, mà mỗi phần có ít nhất 9 viên bi (biết hai cách đặt thẻ được coi là như nhau nếu tồn tại một phép quay quanh tâm O biến cách chia này thành cách chia kia).
   • Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp, hình học và tính đối xứng. Học sinh cần khai thác triệt để tính chất đối xứng của đa giác đều để đơn giản hóa bài toán và tìm ra lời giải chính xác.

Đánh giá chung: Đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có nền tảng kiến thức vững chắc, kỹ năng giải toán linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao phủ nhiều lĩnh vực khác nhau của môn Toán, từ đại số, số học đến tổ hợp và hình học.

Lời khuyên: Các em học sinh hãy xem đây là cơ hội để rèn luyện và nâng cao trình độ của mình. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy kiên trì học tập, tìm tòi và trao đổi với thầy cô, bạn bè để cùng nhau giải quyết các bài toán. Chúc các em đạt được kết quả tốt nhất!