đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán thpt năm 2024 – 2025 sở gd&đt tp hcm

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh tổ chức. Kỳ thi chính thức đã diễn ra vào ngày 20 và 21 tháng 09 năm 2024.

Đặc biệt, lời giải chi tiết và đáp án của bộ đề này được thực hiện bởi đội ngũ học sinh lớp 10CT1, trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh – những gương mặt trẻ đầy tiềm năng và nhiệt huyết với môn Toán. Đây là minh chứng cho sự thành công của chương trình đào tạo và sự nỗ lực không ngừng của các em.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:

1. Bài 1: Trong buổi sinh hoạt ngoại khóa, có 100 cái ghế được xếp thành hai hàng tạo thành 50 cặp đối diện nhau. Cô giáo cho 100 em học sinh ngồi vào các ghế, mỗi ghế có đúng một học sinh.
   • a) Giả sử mỗi học sinh chỉ quen với người ngồi bên cạnh hoặc đối diện mình. Hỏi cần chọn ít nhất bao nhiêu em sao cho mỗi em không được chọn thì quen với ít nhất một em được chọn?
   • b) Giả sử có một học sinh nào đó đi ra ngoài và bỏ lại một ghế trống. Cô giáo sẽ chọn một học sinh tùy ý ở hàng không có ghế trống đến ngồi vào ghế đang trống. Cô có thể thực hiện thao tác như thế nhiều lần. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn lần, cô giáo không thể xếp vị trí của các bạn học sinh sao cho em nào cũng ngồi vào chiếc ghế đối diện với chiếc ghế mình ngồi ban đầu.
2. Bài 2: Số nguyên dương n được gọi là số “tốt” nếu thỏa mãn đồng thời:
   • i) Với mọi d là ước nguyên dương của n thì 1 d, 2 d, 4 d, 6 d đều có số dư phân biệt khi chia cho 47.
   • ii) τ(n)² | n (trong đó τ(n) là số ước nguyên dương của n).
   • a) Chứng minh rằng nếu n là số “tốt” thì n là số chính phương.
   • b) Tìm tất cả số “tốt” không vượt quá 2025.
3. Bài 3: Cho △ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Gọi A′, D lần lượt là điểm đối xứng của A qua BC và đối xứng của A qua O. Gọi P là điểm trên BC sao cho AP ⊥ OH. H′ là trực tâm của △APD.
   • a) Nếu ∠BAC = 60^◦ thì H′D đi qua điểm chính giữa cung nhỏ BC của (O).
   • b) Chứng minh rằng H′A′ ⊥ OP. Nếu ∠BAC = 45^◦ thì H′ đối xứng với O qua BC.

Đánh giá chung về đề thi:

Đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Các bài toán được xây dựng một cách sáng tạo, kết hợp nhiều kiến thức khác nhau trong chương trình Toán THPT, đặc biệt là các kiến thức về số học, hình học và tổ hợp. Bài toán số học có tính chất khám phá cao, đòi hỏi học sinh phải có sự nhạy bén trong việc tìm tòi và áp dụng các tính chất của số nguyên tố và ước số. Bài toán hình học yêu cầu học sinh phải có kiến thức sâu sắc về các đường trong tam giác, các phép biến hình và các tính chất của đường tròn. Bài toán tổ hợp đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích và xây dựng các trường hợp hợp lý.

Lời khích lệ:

Đây là một bộ đề thi đầy thử thách, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện và nâng cao trình độ. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy cố gắng hết mình, tìm tòi và học hỏi từ những người đi trước. giaitoan.edu.vn tin rằng, với sự nỗ lực không ngừng, các em sẽ đạt được những thành công xứng đáng trên con đường chinh phục tri thức!

Chúc các em học tập tốt!