đề học sinh giỏi tỉnh toán 12 chuyên năm 2024 – 2025 sở gd&đt thừa thiên huế

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2024 – 2025, do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa Thiên Huế tổ chức vào ngày 04 tháng 10 năm 2024.

Đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic sắc bén. Đề thi bao gồm ba bài toán, mỗi bài toán đều mang những nét đặc trưng riêng, thử thách nhiều khía cạnh của học sinh.

Nội dung chi tiết đề thi:

1. Bài 1: Số học

   Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Đặt N = 2^2p + 1.

   • a) Chứng minh N không chia hết cho 25.
   • b) Chứng minh N có ít nhất hai ước nguyên tố lớn hơn 5.
   • c) Với q > 5 là ước nguyên tố của N, chứng minh m = 4p là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 2^m – 1 chia hết cho q.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về số nguyên tố, tính chia hết và các tính chất của lũy thừa. Yêu cầu học sinh phải có khả năng phân tích, suy luận logic để tìm ra lời giải.

2. Bài 2: Hình học

   Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không đi qua O. Gọi A là điểm thay đổi trên (O) sao cho ABC là tam giác nhọn. Đường phân giác trong góc BAC cắt BC và (O) lần lượt tại D và M (M khác A). Gọi E là điểm trên cạnh AC sao cho ∠AOE = ∠ABM.

   • a) Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AOE không đổi.
   • b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên BM, H là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với CK; N là giao điểm của AH và EM. Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì điểm N luôn thuộc một đường tròn cố định.

   Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn, tam giác, đường phân giác, và các định lý liên quan đến đường tròn ngoại tiếp. Việc sử dụng các kỹ năng biến đổi hình học và chứng minh tính chất điểm thuộc đường tròn là rất quan trọng.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Cho tập hợp S gồm 12 số nguyên dương. Với số nguyên dương n ≥ 2, ta gọi n là “số phù hợp” nếu tồn tại n tập con T₁, T₂, …, T_n của S thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

   • i) Mỗi tập hợp T_k (k thuộc {1, 2, …, n}) chứa đúng 6 phần tử.
   • ii) Giao của hai tập hợp T_i, T_j (1 ≤ i < j ≤ n) tùy ý chứa không quá 2 phần tử.

   a) Chứng minh 4 là một “số phù hợp”.

   b) Tìm giá trị lớn nhất của n sao cho n là “số phù hợp”.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp, yêu cầu học sinh phải có khả năng tư duy trừu tượng, xây dựng các tập hợp thỏa mãn điều kiện đề bài và sử dụng các kỹ năng đếm. Đây là một bài toán khó, đòi hỏi sự kiên nhẫn và sáng tạo.

Lời khuyên dành cho các em học sinh:

Đề thi này là một cơ hội tuyệt vời để các em rèn luyện và nâng cao trình độ môn Toán. Hãy dành thời gian nghiên cứu kỹ đề bài, thử sức mình với từng bài toán và tìm tòi các lời giải khác nhau. Đừng nản lòng khi gặp khó khăn, hãy kiên trì và tìm kiếm sự giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè. Chúc các em đạt kết quả tốt nhất!

giaitoan.edu.vn sẽ tiếp tục cập nhật và chia sẻ nhiều đề thi chất lượng khác trong thời gian tới. Hãy đồng hành cùng chúng tôi trên con đường chinh phục môn Toán!