đề thi học sinh giỏi tỉnh toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở gd&đt thừa thiên huế

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 chuyên năm học 2021 – 2022, Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế là một đề thi thử thách cao, được thiết kế để đánh giá năng lực toàn diện của học sinh chuyên Toán. Đề thi có cấu trúc gồm 5 bài toán tự luận, với thời gian làm bài 180 phút. Đây là một khoảng thời gian đòi hỏi học sinh phải phân bổ hợp lý, kết hợp giữa tốc độ và sự chính xác.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán:

1. Bài toán 1: Về tổng các chữ số của một số nguyên dương.
   • a) Chứng minh rằng S(7) không chia hết cho 7.
   • b) Tìm tất cả các số nguyên tố p (p < 2022) sao cho S(p) không chia hết cho p.
   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về tính chia hết, tổng các chữ số và khả năng vận dụng vào các số nguyên tố. Phần b đòi hỏi học sinh phải có tư duy phân tích và kỹ năng xét các trường hợp.
2. Bài toán 2: Hình học phẳng và đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp.
   • Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh BC, CA, AB. Các điểm X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng MN, CI. Gọi L là điểm chính giữa của cung BC chứa điểm A của đường tròn (O).
   • a) Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
   • b) Chứng minh BY, CY và Y nằm trên đường thẳng MP.
   • c) Chứng minh đường thẳng LI đi qua trung điểm của đoạn XY.
   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, định lý Ceva, định lý Menelaus và các tính chất liên quan đến trung điểm, tiếp điểm. Việc vẽ hình chính xác và tìm ra các mối liên hệ giữa các điểm là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán.
3. Bài toán 3: Tổ hợp và bài toán đếm.
   • Một hình chữ nhật gồm hai ô vuông đơn vị kích thước 2×1 hoặc 1×2 được gọi là một domino. Một mô hình là một cách đặt các domino lên một bảng vuông nxn (n nguyên dương) ô vuông đơn vị sao cho mỗi domino phủ đúng 2 ô của bảng và không có một ô nào được phủ bởi 2 domino khác nhau (tức là các domino không xếp chồng lên nhau). Ta gọi một domino là “liên quan” đến một hàng (hoặc một cột) nếu nó phủ ít nhất một ô của hàng (hoặc cột) đó. Gọi trị số của một hàng (hoặc một cột) là số các domino “liên quan” đến hàng (hoặc cột) đó. Một mô hình được gọi là cân bằng nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho mỗi hàng và mỗi cột của nó đều có trị số là k. Chẳng hạn tồn tại mô hình cân bằng cho bảng 3×3 với k = 1 (xem mô hình như hình bên).
   • a) Chứng minh rằng tồn tại các mô hình cân bằng với n.
   • b) Tồn tại mô hình cân bằng với n = 2021 hay không? Nếu có, hãy tìm số domino ít nhất cần thiết để có thể thiết lập được mô hình cân bằng cho bảng đó.
   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp, bài toán đếm và tư duy logic. Phần a yêu cầu chứng minh sự tồn tại, trong khi phần b đòi hỏi học sinh phải phân tích tính khả thi và tìm ra giải pháp cụ thể.

Đánh giá chung: Đề thi có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh. Các bài toán đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn phải có khả năng tư duy sáng tạo, linh hoạt và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt.

Lời khuyên: Đừng nản lòng nếu bạn gặp khó khăn khi giải đề thi này. Hãy xem đây là cơ hội để rèn luyện và nâng cao trình độ của bản thân. Hãy dành thời gian ôn tập lại kiến thức, làm thêm nhiều bài tập tương tự và trao đổi với thầy cô, bạn bè để tìm ra những phương pháp giải quyết hiệu quả. Chúc các bạn thành công!